Неравенство ax + b < c
Калькулятор решает линейное неравенство ax + b < c. Результат — граница равенства x = (c − b) / a и направление луча: влево, если a > 0, вправо, если a < 0. Число в поле ответа — граница, не «любая точка луча».
Раздел: алгебра. То же равенство без знака «меньше» — линейное уравнение. Два уравнения — система 2×2. Квадратные неравенства и интервалы для параболы на эту страницу не вынесены.
Тест: 2x + 3 < 7 → граница 2, направление «меньше»: x < 2. Проверка: x = 1 даёт 5 < 7 верно; x = 2 даёт 7 < 7 ложно; x = 3 даёт 9 < 7 ложно.
Второй тест: −2x + 3 < 7 → граница −2, направление «больше»: x > −2. Без переворота знака получили бы неверный луч.
Граница и направление
ax + b < c → граница x = (c − b) / a
Граница считается как корень уравнения ax + b = c — тем же делением, что на странице уравнения. Дополнительно калькулятор смотрит знак a и выставляет направление: dir = +1 при a > 0 (решение x < границы), dir = −1 при a < 0 (x > границы).
Подстановка показывает (c − b) / a и текстовый ответ вида «x < 2» или «x > −2». Это не интервал в виде скобок (−∞; 2): школьная запись лучом на прямой и неравенством достаточна.
Строгость важна: при x равном границе исходное сравнение ложно. Если в задаче стояло ≤, границу включили бы; этот калькулятор так не делает, чтобы не смешивать два разных знака на одном URL.
Когда знак переворачивается
Цепочка: ax + b < c → ax < c − b. Если a > 0, делим и сохраняем «меньше». Если a < 0, делим и пишем «больше». Можно умножить обе части на −1 в самом начале и сразу получить положительный коэффициент — знак тоже перевернётся, граница та же.
Пример: −2x + 3 < 7 → −2x < 4 → деление на −2 даёт x > −2. Альтернатива: умножить исходное на −1 (и перевернуть): 2x − 3 > −7, затем 2x > −4, x > −2. Оба пути сходятся.
У уравнения этой ловушки нет: −2x + 3 = 7 всё равно даёт x = −2. Путать уравнение с неравенством — типичная ошибка контрольной.
Числовая прямая
Граница — выколотая точка. Закрашивают луч в сторону, куда указывает знак после приведения. Для x < 2 — влево от 2. Для x > −2 — вправо от −2. Калькулятор рисует схему с открытой окружностью на границе.
Несколько неравенств «и» / «или» (системы неравенств) эта страница не пересекает. Одно неравенство — один луч.
Как пользоваться
Приведите неравенство к ax + b < c. Введите a, b, c. Прочитайте границу и текстовый знак. Проверьте точкой внутри луча и точкой с другой стороны.
a = 0 нельзя. Если исходное было «больше», перепишите как «меньше» с переменой частей: c < ax + b эквивалентно −a x − b < −c, либо смените знаки осознанно.
Примеры
Положительное a. 2x + 3 < 7 → x < 2. Точка 0 подходит, точка 3 нет.
Отрицательное a. −2x + 3 < 7 → x > −2. Точка 0 подходит, точка −5 нет.
Правая часть ноль. 5x − 10 < 0 → x < 2. То же, что 5x < 10.
Единица. x < 4 записывается a = 1, b = 0, c = 4, граница 4, направление «меньше».
Дробь. 0,5x + 1 < 4 → x < 6. Умножение на 2 заранее: x + 2 < 8, тот же луч.
Связь с уравнением. Граница всегда совпадает с корнем ax + b = c при тех же a, b, c.
Не система. Два неизвестных и два равенства — система, не луч на прямой.
Перенос слагаемых. 3 − x < 5 сначала запишите как −1·x + 3 < 5, a = −1, граница (5 − 3)/(−1) = −2, направление «больше», потому что a отрицательно: x > −2. Проверка: x = 0 даёт 3 < 5 верно; x = −3 даёт 6 < 5 ложно. Если забыть минус у a, луч уйдёт не туда.
Скобки. 2(x − 1) < 8 → 2x − 2 < 8, a = 2, b = −2, c = 8, граница 5, x < 5. Можно разделить исходное на 2 сразу: x − 1 < 4, x < 5 — тот же луч, потому что 2 > 0 и знак не переворачивали.
Дробный коэффициент. x/2 + 1 < 4 эквивалентно 0,5x + 1 < 4 или после умножения на 2: x + 2 < 8. Граница 6, направление «меньше». Умножение на положительное число не меняет знак неравенства.
Проверка трёх точек. Всегда берите точку левее границы, саму границу и точку правее. Для строгого неравенства граница не входит. Так ловят и перевёрнутый знак, и ошибку в арифметике (c − b)/a.
Не уравнение и не система
Уравнение отвечает «какое одно число». Неравенство — «какой промежуток». Система 2×2 — «какая точка на плоскости». Квадратное неравенство x² − 5x + 6 < 0 требует корней параболы квадратного уравнения и знака на интервалах — другой сюжет.
Пропорция и отношение не заменяют сравнение ax + b с числом c.
Типичные ошибки
- Не перевернуть знак при отрицательном a.
- Включить границу в строгое неравенство.
- Считать ответом только границу, как в уравнении, без луча.
- Делить только c на a, забыв b.
- Ставить квадратное неравенство в поля a, b, c линейной формы.
Частые вопросы
- Какое неравенство решает калькулятор?
- Строгое ax + b < c. Граница x = (c − b) / a. Если a > 0, решение x меньше границы; если a < 0 — x больше границы.
- Почему при отрицательном a знак меняется?
- Деление обеих частей на отрицательное число переворачивает неравенство. Уравнение при том же делении знак не меняет — там равенство.
- Входит ли граница в решение?
- Нет. Неравенство строгое: точка x = граница не подходит. На прямой её рисуют выколотой.
- Что если a = 0?
- Это уже не неравенство первой степени по x. Калькулятор останавливается. Сравнение чисел b и c нужно разбирать отдельно.
- Чем отличается линейное уравнение?
- Уравнение ax + b = c даёт одну точку — ту же границу. Неравенство даёт луч.
- Есть ли знаки ≤, больше и ≥?
- Эта страница считает только строгий знак «меньше». Для «больше» поменяйте части местами или смените знаки коэффициентов так, чтобы снова получить вид ax + b < c.