Два уравнения, два неизвестных
Калькулятор решает систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂. Искомые — x и y. Коэффициенты вводятся восемь полей: три на первое уравнение, три на второе, плюс сами неизвестные как цели расчёта.
Раздел: алгебра. Одно уравнение с одним x — линейное уравнение. Неравенство ax + b < c — линейное неравенство. Квадратное ax² + bx + c = 0 — другая страница.
Школьные методы: подстановка, сложение, графический. Численный ответ совпадает с правилом Крамера, которое калькулятор считает напрямую. Тест: 2x + y = 5, x + y = 3 → x = 2, y = 1. Проверка: 4 + 1 = 5, 2 + 1 = 3.
Система описывает пересечение двух прямых. Если нужно отношение двух чисел без второго уравнения, это отношение или пропорция, не система.
Правило Крамера и определитель D
x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) / D, D = a₁ b₂ − a₂ b₁
y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) / D, D = a₁ b₂ − a₂ b₁
Определитель главной матрицы D = a₁ b₂ − a₂ b₁. Для x в числителе правые части заменяют столбец при x: c₁ b₂ − c₂ b₁. Для y — столбец при y: a₁ c₂ − a₂ c₁. Деление на D даёт неизвестные.
В тесте D = 2·1 − 1·1 = 1, x = (5·1 − 3·1)/1 = 2, y = (2·3 − 1·5)/1 = 1. Если D ≠ 0, решение единственно: прямые пересекаются в одной точке.
Порядок уравнений можно менять местами — точка та же, знаки D и числителей сменятся согласованно. Порядок неизвестных в записи «сначала x, потом y» фиксирован полями калькулятора: не подставляйте y в поле x.
Дробные и отрицательные коэффициенты допустимы. Система −x + 2y = 3, 4x − y = 1 решается теми же формулами. Калькулятор не приводит к целым «красивым» D: он делит как есть.
Что значит D = 0
D = 0 значит, что строки коэффициентов пропорциональны: второе уравнение — кратное первого по левой части. Тогда либо правые части согласованы (бесконечно много решений, совпадающие прямые), либо нет (пустое множество, параллельные прямые).
Пример из теста: x + y = 1 и 2x + 2y = 3. Левые части пропорциональны (множитель 2), правые нет (2 ≠ 3). D = 1·2 − 2·1 = 0. Калькулятор выдаёт ошибку деления на ноль и не перечисляет «пусто» словами — этого достаточно, чтобы не выдавать ложную точку.
Совпадающий случай x + y = 1, 2x + 2y = 2 тоже имеет D = 0. Решений бесконечно: y = 1 − x. Калькулятор снова не выбирает одно x. Для параметрической записи решайте в тетради.
Численно «почти ноль» D даёт огромные |x|, |y| — прямые почти параллельны, точка пересечения далеко. Это не D = 0. Нуль должен быть точным, как в тесте.
Две прямые на плоскости
Уравнение a x + b y = c задаёт прямую. Две прямые: пересекаются (D ≠ 0), параллельны без общих точек или совпадают (D = 0). Калькулятор ищет координаты пересечения, не угол между прямыми и не расстояние.
Вертикальная прямая x = 2 записывается как 1·x + 0·y = 2. Горизонталь y = 3: 0·x + 1·y = 3. Обе вместе дают точку (2; 3), D = 1. Нулевой коэффициент в одном поле допустим, нули в целой строке — вырожденность.
Как пользоваться
Приведите оба уравнения к виду «x-член + y-член = число». Введите a₁, b₁, c₁ и a₂, b₂, c₂. Выберите искомое x или y — второе неизвестное в подстановке той же формулы не требуется, но обычно считают оба.
Проверка: подставьте найденные x и y в оба исходных уравнения. Расхождение значит опечатка в коэффициентах, а не «Крамер врёт».
Примеры
Базовый. 2x + y = 5, x + y = 3 → (2; 1). Вычитание уравнений тоже даёт x = 2.
Вычитание в тетради. Из первого вычесть второе: x = 2, затем y = 3 − 2 = 1. Совпадает с Крамером.
Параллельные. x + y = 1, 2x + 2y = 3 — D = 0, ошибки ожидать нужно.
Отрицательные. x − y = 1, x + y = 3 → x = 2, y = 1. Сложение даёт 2x = 4.
Дроби. 0,5x + y = 2, x − y = 1 → x = 2, y = 1. Можно умножить первое на 2 заранее.
Текстовая. «Сумма чисел 10, разность 2»: x + y = 10, x − y = 2 → x = 6, y = 4. Не среднее арифметическое как отдельный инструмент, хотя среднее как раз 5.
Чего эта страница не считает
Системы 3×3, нелинейные (xy, x²), неравенства с двумя переменными, параметрические семейства при D = 0. Определитель как отдельная страница не вынесен: он часть тех же формул x и y.
Матричный вид удобен в курсе алгебры, но поля калькулятора — коэффициенты, не «вставьте матрицу целиком». Для одного неизвестного вернитесь к линейному уравнению.
Типичные ошибки
- Перепутать столбцы: b₁ поставить в a₂.
- Считать D = a₁a₂ − b₁b₂ вместо a₁b₂ − a₂b₁.
- При D = 0 всё равно делить и получать «бесконечность» как ответ.
- Решать квадратное уравнение формулами Крамера.
- Забыть, что порядок x, y в записи уравнений должен совпадать с полями.
Частые вопросы
- Как решить систему двух линейных уравнений?
- По правилу Крамера: D = a₁b₂ − a₂b₁, x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D при D ≠ 0.
- Что если определитель равен нулю?
- Единственного решения нет: прямые параллельны или совпадают. Калькулятор останавливается, не перебирает бесконечные семейства.
- Нужна ли отдельная страница определителя 2×2?
- Число D = ad − bc как самостоятельный ответ — определитель 2×2. В системе D стоит в знаменателе Крамера вместе с x и y.
- Это метод подстановки?
- Численно ответ тот же. Крамер сразу даёт оба неизвестных через определители. Подстановку можно сделать в тетради и сверить с калькулятором.
- Чем отличается одно линейное уравнение?
- Одно неизвестное — линейное уравнение ax + b = c. Здесь два уравнения и пара (x, y).
- Решает ли калькулятор нелинейные системы?
- Нет. Только a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂. Квадратные и показательные системы на эту страницу не ставят.