Определитель матрицы 2×2
Определитель матрицы 2×2 — число D = ad − bc. Раздел: алгебра.
Страница не ищет x и y. Пара неизвестных системы a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ — система 2×2, там D уже стоит в знаменателе Крамера. Здесь D — самостоятельный ответ: вырожденность, площадь ориентированного параллелограмма, проверка «можно ли обратить матрицу».
Тесты: [[1, 2], [3, 4]] → −2; единичная [[1, 0], [0, 1]] → 1; пропорциональные строки [[1, 2], [2, 4]] → 0.
Знак D зависит от порядка строк и столбцов. Перестановка двух строк меняет знак. Модуль |D| — площадь параллелограмма, натянутого на векторы-столбцы.
D = ad − bc
D = a d − b c
Главная диагональ ad минус побочная bc. Никаких корней и логарифмов. Нулевые элементы допустимы: они просто обнуляют одно из произведений.
Четыре поля a, b, c, d соответствуют позиции в матрице, не коэффициентам квадратного трёхчлена. Не путайте с квадратным уравнением ax² + bx + c.
Не решение системы
Если в задаче «решите систему», откройте систему. Если «найдите определитель», оставайтесь здесь. Подставлять правые части c₁, c₂ в эту страницу некуда: их нет в формуле ad − bc.
Как пользоваться
Введите четыре элемента по строкам: a и b — первая строка, c и d — вторая. Получите D. Проверка: для треугольной матрицы с нулём под диагональю D равно произведению диагонали.
Примеры
Отрицательный. 1, 2, 3, 4 → −2.
Единица. 1, 0, 0, 1 → 1.
Вырожденная. 1, 2, 2, 4 → 0.
Ещё матрицы
[[2, 0], [0, 5]] → 10. Диагональная матрица: D — произведение диагональных элементов. [[0, 1], [−1, 0]] → 1. Поворот на 90° сохраняет ориентированную площадь 1.
[[3, 3], [1, 1]] → 0. Строки пропорциональны (множитель 3). Столбцы тоже. Обратной матрицы нет, делить на D в Крамере нельзя — система остановится на таких коэффициентах.
Перестановка столбцов: было [[1, 2], [3, 4]] D = −2, стало [[2, 1], [4, 3]] D = 2. Знак сменился, модуль тот же. Не сравнивайте D без учёта порядка записи.
Дробные элементы: [[0,5, 1], [2, 4]] → 0. Снова пропорциональность. Целые не обязательны.
Связь с линейным уравнением: одно уравнение не имеет определителя 2×2. Определитель появляется, когда уравнений и неизвестных по два.
Отношение и пропорция a/b / a/b = c/d — про четыре числа в другом смысле. Равенство отношений не есть ad − bc = 0? Наоборот: ad = bc как раз D = 0, пропорциональность. Если проверяете «пропорциональны ли строки», D = 0 — да; это не поиск четвёртого члена пропорции.
Площадь: векторы (1, 0) и (0, 1) дают D = 1, единичный квадрат. Векторы (2, 0) и (0, 3) дают 6. Ориентация против обхода меняет знак площади — поэтому D может быть отрицательным, площадь в быту берут по модулю.
Не считайте D как степень или логарифм. Это билинейная комбинация, два произведения и разность.
Матрица −I: [[−1, 0], [0, −1]] → 1. Два минуса на диагонали. След −2 к определителю не прибавляют: след на этой странице не считается.
Проверка разложением: D = a·d + b·(−c), как алгебраические дополнения. Для 2×2 это избыточно, но сходится с ad − bc.
Кубическое уравнение и определитель — разные главы. Не кладите D в поле корня кубического.
Итог: четыре числа → одно D. Нуль значит вырожденность. Искать (x, y) — соседняя система.
Матрица смены базиса [[1, 1], [0, 1]] имеет D = 1, сдвиг не сжимает площадь. [[2, 1], [2, 1]] снова 0: столбцы одинаковые, параллелограмм схлопнулся в отрезок. Геометрический смысл помогает не заучить «ad − bc» вслепую: нулевой определитель = нулевая площадь.
Обратная матрица 2×2 существует только при D ≠ 0 и содержит деление на D. Саму обратную страница не считает. Если задача «обратите матрицу», сначала проверьте D здесь, затем считайте в тетради (1/D)·[[d, −b], [−c, a]].
Система x + 2y = 5, 3x + 4y = 6 имеет ту же главную матрицу, что тест D = −2. Неизвестные: x = 2, y = 1,5? Проверка лучше на странице системы. Здесь вы только подтвердили, что D ≠ 0 и решение единственно.
Не путайте D с отношением a/d или с разностью a − d. След a + d тоже другое число: для [[1, 2], [3, 4]] след 5, определитель −2.
Кососимметричная [[0, 2], [−2, 0]] → D = 4. Для любой кососимметричной 2×2 D = a² при a вне диагонали с противоположными знаками… точнее D = b², если форма [[0, b], [−b, 0]]. Проверка: 0·0 − b(−b) = b² ≥ 0.
Типичные ошибки
- Считать ab − cd вместо ad − bc.
- Складывать диагонали, как в «правиле Саррюса» для 3×3, и путать знаки.
- Подставлять правые части системы в поля a, b, c, d.
- Называть D корнем уравнения.
- Игнорировать знак и сравнивать только модуль, когда знак важен.
Частые вопросы
- Как считать определитель матрицы 2×2?
- D = ad − bc для матрицы со строками (a b) и (c d). Для 1, 2; 3, 4 получите 4 − 6 = −2.
- Это правило Крамера?
- Крамер использует D внутри решения системы. Сами неизвестные x, y считает система двух уравнений. Здесь только число D.
- Что значит D = 0?
- Матрица вырождена: строки пропорциональны, обратной матрицы нет. У системы с такой главной матрицей нет единственного решения.
- Чему равен определитель единичной матрицы?
- 1. Диагональ 1, 1, вне диагонали нули: 1·1 − 0·0 = 1.
- Нужно ли решать линейное уравнение?
- Одно неизвестное — линейное уравнение. Определитель — скаляр из четырёх чисел, не x.
- Есть ли определитель 3×3?
- На этой странице нет. Только 2×2 и формула ad − bc.