ax³ + bx² + cx + d = 0
Калькулятор решает кубическое уравнение в действительных числах: наименьший корень всегда в ответе, при трёх действительных корнях показываются и остальные. Раздел: алгебра.
Квадратное ax² + bx + c = 0 — другая страница. Чистая операция ∛x — кубический корень. Линейное — линейное уравнение.
Тест: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 раскладывается как (x−1)(x−2)(x−3), корни 1, 2, 3. Второй тест: x³ − 1 = 0, единственный действительный корень 1 (остальные — комплексные кубические корни из единицы).
Комплексную пару страница не выводит. Если нужен только действительный корень «какого-то» кубического, этого достаточно для школьных и большинства инженерных постановок.
Действительные корни
ax³ + bx² + cx + d = 0
Сдвиг x = z − b/(3a) убирает квадратичный член. Дальше — формула Кардано или тригонометрический случай трёх действительных корней. Пользователю достаточно коэффициентов a, b, c, d: промежуточные p, q в поля не выносятся.
a ≠ 0 обязательно. Нулевой старший коэффициент превращает задачу в квадратную или линейную — решайте там, не здесь.
Не квадратное уравнение
Дискриминант b² − 4ac к кубическому не подходит. Не подставляйте три коэффициента в квадратное, отбросив d или a. Четыре коэффициента — четыре поля.
Квадратный корень из дискриминанта квадратного здесь ни при чём, хотя внутри тригонометрического случая есть корни и арккосинус.
Как пользоваться
Приведите многочлен к виду ax³ + bx² + cx + d = 0. Знаки входят в коэффициенты. Выберите цель — наименьший корень. Если корней три, два других появятся рядом.
Проверка: подставьте каждый корень в многочлен, должна выйти (почти) нуль. Для 1, 2, 3 проверка очевидна.
Примеры
Три корня. x³ − 6x² + 11x − 6 → 1, 2, 3.
Один действительный. x³ = 1 → x = 1.
Не кубическое. a = 0 — ошибка.
Ещё кубические
x³ − x = x(x−1)(x+1) = 0, корни −1, 0, 1. Свободный член d = 0 сразу даёт корень 0. Калькулятор всё равно прогоняет общую схему и должен найти три числа.
(x−1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1 = 0, тройной корень 1. Страница покажет один уникальный действительный корень (совпавшие сливаются). Это не три разных поля 1, 1, 1 как обязательный формат.
x³ + 1 = 0 → x = −1 действительный. Не путайте с ∛(−1) = −1: здесь уравнение x³ = −1, да, совпало. Для x³ + x + 1 = 0 корень уже не «минус единица».
Неполное x³ + p x + q без квадратичного члена — классика Кардано. Калькулятор принимает b = 0. Не выкидывайте поле b, поставьте ноль.
Двучлен x³ − 8 = 0: действительный корень 2. Проверка 2³ = 8. Это снова соседство с кубическим корнем, но форма уравнения «многочлен = 0» держит страницу здесь, а не на ∛.
Если задача «найдите ∛27», не открывайте кубическое x³ − 27 = 0 без нужды: быстрее кубический корень. Кубическое нужно, когда есть ещё x² или x.
Подбор рационального корня по теореме о делителях: кандидаты — делители d, делённые на делители a. Для теста 1, 2, 3 это сработало бы вручную. Калькулятор не перебирает кандидатов текстом, считает аналитически.
После нахождения одного корня r деление столбиком даёт квадратный трёхчлен. Его корни можно добить на квадратном или разложении. Если квадратный кусок с D < 0, останется один действительный кубический корень.
График y = ax³ + … всегда пересекает ось x хотя бы раз. Касание с перегибом — кратный корень. Калькулятор не рисует перегиб, только числа.
Не решайте показательное a·bˣ = c кубическим: это показательное уравнение. Степень неизвестного в показателе — не многочлен.
Большие коэффициенты дают корни далеко от нуля. Подстановка-проверка важнее красивой формулы в тетради. Если многочлен в корне даёт 10⁻⁹, это нуль для практики.
Система двух линейных — система 2×2, не кубическое. Определитель матрицы — D = ad − bc.
Итог: четыре коэффициента, действительные корни, без комплексной печати. Квадрат и линейность — при a = 0 на других страницах.
Типичные ошибки
- Отбросить d и решить как квадратное.
- Поставить a = 0 и ждать «кубические корни».
- Считать ∛x вместо корней полного многочлена.
- Ждать три комплексных числа в ответе.
- Путать порядок: свободный член в поле a.
Частые вопросы
- Как решить кубическое уравнение?
- Приводят ax³ + bx² + cx + d = 0 к неполному виду и ищут действительные корни. Калькулятор выдаёт наименьший корень и остальные, если их три. Для x³ − 6x² + 11x − 6 корни 1, 2 и 3.
- Всегда ли есть действительный корень?
- Да, хотя бы один: многочлен нечётной степени меняет знак. Два других могут быть комплексными — страница их не печатает.
- Что если a = 0?
- Тогда уравнение не кубическое. Квадратный случай — квадратное уравнение, линейный — линейное.
- Нужен ли кубический корень отдельно?
- ∛x как операция — кубический корень. В формуле корней кубического он появляется внутри, но запрос страницы — корни многочлена.
- Почему корни по возрастанию?
- Чтобы x₁, x₂, x₃ не менялись местами из‑за ветвей формулы. Наименьший всегда в основном ответе.
- Раскладывает ли калькулятор на множители?
- Квадратный трёхчлен — разложение. Кубический на линейные скобки страница текстом не собирает, только числа корней.