Множители a(x − p)(x − q)
Разложение квадратного трёхчлена над действительными числами — запись ax² + bx + c = a(x − p)(x − q). Раздел: алгебра.
Страница не ставит «= 0» и не объявляет «корни уравнения» заголовком: запрос «разложите на множители». Те же p и q как решения ax² + bx + c = 0 даёт квадратное уравнение. Вершина — другая страница. Канонический вид — полный квадрат.
Тест: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Проверка раскрытием: x² − 3x − 2x + 6. Если a ≠ 1, множитель a остаётся снаружи.
При D = 0 скобки совпадают: x² − 2x + 1 = (x − 1)². Калькулятор даёт p = q = 1. При D < 0 разложения нет.
Корни как параметры скобок
ax² + bx + c = a (x − p) (x − q)
p и q считают по той же формуле, что корни: дискриминант D = b² − 4ac, затем (−b ± √D)/(2a). Меньший корень — p, больший — q. Ответ в шагах показывает строку вида a(x − p)(x − q).
Корень из D — арифметический, как на странице квадратного корня. a = 0 запрещён: тогда это не трёхчлен второй степени, а линейное выражение.
Не страница «решите уравнение»
В контрольной «решите x² − 5x + 6 = 0» ждут x = 2 и x = 3. «Разложите x² − 5x + 6» ждут (x−2)(x−3). Числа те же, оформление в тетради разное — поэтому две страницы.
Как пользоваться
Введите a, b, c. Получите меньший корень p и больший q. Соберите произведение сами, не забыв a. Знаки: для x² + 5x + 6 корни отрицательные, скобки (x + 2)(x + 3), потому что x − (−2) = x + 2.
Примеры
Два корня. x² − 5x + 6 → p = 2, q = 3.
Квадрат. x² − 2x + 1 → p = q = 1.
D < 0. x² + 1 не раскладывается над действительными.
Ещё трёхчлены
2x² − 6x + 4 = 2(x − 1)(x − 2). Не пишите (x−1)(x−2) без двойки: свободный член был бы 2, не 4. Проверка: 2(x² − 3x + 2) = 2x² − 6x + 4.
x² − 9 = (x − 3)(x + 3), p = −3, q = 3. Разность квадратов — частный случай. Не открывайте корень вместо скобок, хотя 9 = 3².
x² + 4x + 4 = (x + 2)². Это и полный квадрат, и разложение с p = q = −2. Две страницы дадут согласованные числа: h = −2, k = 0 на полном квадрате совпадает с касанием оси.
3x² = 3x·x, то есть 3x² + 0x + 0 = 3(x − 0)(x − 0). Вырожденно, но формула жива. Если c ≠ 0 и b = 0: x² + 4 не раскладывается, x² − 4 раскладывается.
Дробные корни: 2x² − x − 1 = 2(x − 1)(x + 1/2). Калькулятор выдаст p = −0,5, q = 1. В тетради иногда пишут (2x + 1)(x − 1) — то же произведение, целые коэффициенты в обеих скобках. Численно p и q те же.
Не ищите множители для кубического ax³ + … — это кубическое уравнение. Квадратный кусок после деления столбиком можно вернуть сюда.
Теорема Виета: p + q = −b/a, pq = c/a. Для 2 и 3 сумма 5, произведение 6 при a = 1, b = −5, c = 6. Если сумма не сходится, опечатка в знаке b.
График пересекает ось x в p и q, вершина посередине. Разложение не заменяет координаты вершины, если в задаче точка, а не скобки.
Комплексные корни x² + 1 = 0 в школе часто помечают «не раскладывается». Эта страница согласна. Не подставляйте i в поля.
Связь с неравенством: знак трёхчлена меняется в корнях. Само линейное неравенство ax + b < c — другая страница. Квадратное неравенство калькулятор не решает интервалами.
Проверка: раскройте скобки и сравните коэффициенты, не только корни. (x−2)(x−3) + 1 уже другой трёхчлен.
Не путайте с биномом Ньютона: (x + 1)² раскрывается в трёхчлен, обратная задача — свернуть трёхчлен в скобки, если получится.
Итог: нужны две действительные скобки (или квадрат одной). Нет действительных корней — нет разложения на этой странице. Решить «= 0» текстом «x₁, x₂» — соседний калькулятор.
Целые коэффициенты в обеих скобках: 6x² + 5x − 6 = (3x − 2)(2x + 3). Численно p = −3/2, q = 2/3. Калькулятор не обязан выписывать «аккуратные» скобки с целыми: он даёт p и q. Переписать (x + 3/2)(x − 2/3) с множителем 6 можно в тетради.
Свободный член 0: x² − 5x = x(x − 5), p = 0, q = 5. Ноль — законный корень и законный параметр скобки (x − 0). Не удаляйте поле c, поставьте 0.
Противоположные коэффициенты x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1). Виета: сумма −1, произведение −2. Если сумма p+q не равна −b/a, вы перепутали знаки скобок.
Типичные ошибки
- Забыть множитель a перед скобками.
- Писать (x + 2) при корне +2 вместо (x − 2).
- Ждать разложения при D < 0.
- Ответить «корни 2 и 3», когда просили произведение скобок.
- Разлагать линейный двучлен как квадратный при a = 0.
Частые вопросы
- Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
- ax² + bx + c = a(x − p)(x − q), где p и q — действительные корни. Для x² − 5x + 6 получите (x − 2)(x − 3).
- Чем это отличается от решения уравнения?
- Уравнение ищет x, здесь ищут запись произведения. Корни те же числа считает квадратное уравнение, но ответ в тетради другой.
- Что если дискриминант отрицательный?
- Над действительными числами линейных множителей нет. Калькулятор останавливается, комплексные скобки не пишет.
- Почему p меньше q?
- Чтобы скобки не прыгали местами. Для x² − 5x + 6 всегда p = 2, q = 3.
- Нужен ли полный квадрат?
- Вид a(x − h)² + k — выделение полного квадрата. Это сумма, не произведение двух разных скобок, если корни различны.
- Где вершина параболы?
- Точка (h, k) — вершина параболы. Из множителей h = (p+q)/2, но вершина — отдельный запрос.