Точка (h, k) на графике
Вершина параболы y = ax² + bx + c — точка (h, k), где график меняет направление: минимум при a > 0, максимум при a < 0. Раздел: алгебра.
Калькулятор ищет координаты вершины, не корни и не вид полного квадрата как текстовую перепись. Корни — квадратное уравнение. Запись a(x − h)² + k — выделение полного квадрата. Множители — разложение трёхчлена.
Тест: y = x² − 4x + 3. h = 4/2 = 2, k = −1. График касается самой низкой точки (2; −1). Корни 1 и 3 симметричны относительно вертикали x = 2 — это проверка, не замена формулы.
Ось симметрии параболы — прямая x = h. Вершина лежит на этой оси. Калькулятор не строит касательную и не считает площадь под графиком.
h = −b/(2a), k = (4ac − b²)/(4a)
h = −b / (2a)
k = (4ac − b²) / (4a)
Абсцисса вершины всегда −b/(2a). Ордината — значение функции в этой точке, записанное без повторной подстановки x = h: k = (4ac − b²)/(4a). Можно вместо этого посчитать y(h) = a h² + b h + c — число то же.
При a = 0 деление на ноль: параболы нет. Это линейное уравнение или прямая y = bx + c, вершины у неё нет.
Не корни квадратного уравнения
Уравнение ax² + bx + c = 0 ищет x, где y = 0. Вершина — где y экстремален. Для x² + 1 вершинная точка (0; 1), действительных корней нет. Для (x−1)² вершина (1; 0) совпадает с единственным корнем — частный случай, не правило.
Не подставляйте дискриминант вместо k. D = b² − 4ac связано с k формулой k = −D/(4a), но страница считает k напрямую и не печатает D как ответ.
Как пользоваться
Введите a, b, c из стандартного вида. Для h достаточно a и b. Для k нужны все три коэффициента. Знаки входят в поля: для −4x коэффициент b = −4.
Примеры
Базовый. x² − 4x + 3 → (2; −1).
Начало координат. y = x² → (0; 0).
Запрет a = 0. y = x + 1 — не парабола.
Ещё параболы
y = −x² + 6x − 5: a = −1, h = −6/(−2) = 3, k = (20 − 36)/(−4) = 4. Вершина (3; 4) — максимум, ветви вниз. Корни 1 и 5 снова симметричны относительно x = 3.
y = 2x²: h = 0, k = 0. Сжатие по вертикали не двигает вершину с начала координат, если нет b и свободный член ноль. Свободный член 8 даёт (0; 8): сдвиг вверх, формула k это показывает.
y = (x−4)² + 7 уже в вершинном виде: (h, k) = (4; 7). Если раскрыть: x² − 8x + 23, h = 8/2 = 4, k = 7. Страница полного квадрата как раз идёт от трёхчлена к этой записи; здесь вы берёте готовые координаты.
Неполная парабола y = x² − 9: h = 0, k = −9. Корни ±3. Вершина на оси y. Неполная y = x² + 4x: h = −2, k = −4. Не путайте «нет c» с «нет вершины».
Физический бросок по параболе в координатах — геометрия траектории, не эта страница. Школьная «найти вершину» по коэффициентам — алгебра, этот раздел.
Симметрия корней: если есть два корня p и q, то h = (p+q)/2. Для 2 и 3 получите 2,5, не 2. В тесте 1 и 3 среднее 2 совпало с h. Не заменяйте формулу −b/(2a) средним, пока не уверены, что корни уже найдены.
Большие коэффициенты: y = 0,5x² − 10x + 3. h = 10/1 = 10. Половинка у a удваивает вклад в знаменателе 2a. Ошибка «забыл двойку» даёт h = 10/0,5 = 20 — мимо.
Отрицательный свободный член двигает график вниз, но h от c не зависит. Меняйте только c — вершина едет вертикально. Меняйте b — едет горизонтально.
Проверка подстановкой: h = 2, y(2) = 4 − 8 + 3 = −1 = k. Если y(h) не совпал с выданным k, опечатка в c или в знаке b.
Не ищите вершину через линейное уравнение «производная равна нулю» на этой странице: школьный курс часто так мотивирует h = −b/(2a), но поля здесь — коэффициенты трёхчлена, не касательная.
Разложение (x−1)(x−3) = x² − 4x + 3 снова та же парабола. Множители полезны для корней, не обязательны для (h, k). Если D < 0, множителей над действительными нет, вершина всё равно существует.
Квадрат стороны в геометрии — квадратный корень или площади, не вершина. Не тащите h в треугольник.
Итог: вершина — точка графика (h, k). Корни, множители и канонический вид — соседние калькуляторы с теми же a, b, c, но другим вопросом.
Типичные ошибки
- Назвать вершиной корни 1 и 3 вместо точки (2; −1).
- Забыть минус: h = b/(2a) вместо −b/(2a).
- Положить a = 0 и ждать «вершину прямой».
- Путать k с дискриминантом.
- Искать разложение на множители в полях вершины.
Частые вопросы
- Как найти вершину параболы y = ax² + bx + c?
- h = −b/(2a), k = (4ac − b²)/(4a). Точка (h, k) — экстремум графика. Для x² − 4x + 3 вершина (2; −1).
- Это те же числа, что при выделении полного квадрата?
- h и k совпадают. Но запрос другой: здесь точка на графике, там вид a(x − h)² + k. См. выделение полного квадрата.
- Вершина — это корни уравнения?
- Нет. Корни — пересечения с осью x, их считает квадратное уравнение. Вершина может лежать вне оси.
- Что если a = 0?
- Это уже не парабола, а прямая. Калькулятор останавливается.
- Где минимум и где максимум?
- При a > 0 ветви вверх, вершина — минимум. При a < 0 — максимум. Формулы h и k те же.
- Нужно ли раскладывать трёхчлен на множители?
- Нет. Разложение a(x − p)(x − q) — другая страница. Для вершины достаточно a, b, c.