Запись a(x − h)² + k
Выделение полного квадрата — перепись трёхчлена ax² + bx + c в канонический вид a(x − h)² + k. Раздел: алгебра.
Это тот же приём, что «добавить и вычесть (b/2a)²», но калькулятор сразу выдаёт k и h. Запрос «где точка вершины на графике» — вершина параболы: числа совпадают, формулировка и поля по умолчанию разные, как неполное частное и остаток.
Корни уравнения — квадратное уравнение. Произведение скобок — разложение. Линейный случай без x² — линейное уравнение.
Тест: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1, то есть k = −1, h = 2. Раскрытие: x² − 4x + 4 − 1 = x² − 4x + 3, сходится.
Как получают h и k
ax² + bx + c = a(x − h)² + k
h = −b / (2a)
h = −b/(2a), k = (4ac − b²)/(4a). Подстановка в a(x − h)² + k тождественно возвращает исходный трёхчлен при a ≠ 0.
Значение k — ордината вершины и одновременно «хвост» после квадрата. Если задача просит «приведите к виду … + k», вам нужно именно это поле.
Не запрос «где вершина на графике»
Учитель пишет «выделите полный квадрат» — ждут алгебраическую строку. «Найдите вершину» — ждут пару чисел как точку. Страницы разделены, чтобы два запроса не сливались. Не копируйте ответ (2; −1) в тетрадь, если просили (x − 2)² − 1.
Как пользоваться
Введите a, b, c. По умолчанию считается k. Переключите цель на h, если нужен сдвиг скобки. Соберите строку a(x − h)² + k вручную: калькулятор не печатает многочлен текстом целиком, даёт числа.
Примеры
Базовый. x² − 4x + 3 → h = 2, k = −1, вид (x − 2)² − 1.
Без линейного члена. 2x² + 8 → h = 0, k = 8, вид 2x² + 8.
a = 0. Переписи квадрата нет.
Ещё переписи
x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 4. Здесь h = −3 (минус в формуле −b/2a при b = 6), k = −4. Скобка (x − h) = (x − (−3)) = (x + 3). Не потеряйте знак h при записи.
2x² − 4x + 1 = 2(x − 1)² − 1. Сначала h = 4/4 = 1, k = (8 − 16)/8 = −1. Множитель 2 остаётся перед скобкой. Ошибка «(x−1)² − 1» без двойки не раскроется в 2x².
x² + 1 = (x − 0)² + 1. Выделять «нечего» по линейному члену, но вид уже канонический. Страница всё равно считает h = 0, k = 1.
−x² + 4x = −(x − 2)² + 4. a = −1, h = 2, k = 4. Знак минус перед скобкой обязателен: иначе получится минимум вместо максимума.
Решение уравнения через полный квадрат: (x − 2)² − 1 = 0 → (x − 2)² = 1 → x = 3 или x = 1. Это путь в тетради. Численные корни быстрее взять на странице корней.
Интеграл и сдвиг в анализе часто начинают с (x − h)². Сама замена переменной — не задача калькулятора. Он только готовит h и k.
Не путайте с биномом (a + b)² = a² + 2ab + b². Бином Ньютона для (a + b)ⁿ — отдельная страница. Полный квадрат трёхчлена — свёртка, не разложение степени суммы.
Проверка раскрытием обязательна. Выписали 3(x − 1)² + 2 = 3(x² − 2x + 1) + 2 = 3x² − 6x + 5. Сверьте с исходными a, b, c.
Если D < 0, полный квадрат всё равно существует: x² + 1 = (x)² + 1, корней нет, вид есть. Разложения на действительные линейные множители тогда нет — разложение остановится, эта страница нет.
Школьный алгоритм «половина коэффициента при x, квадрат, добавить-вычесть» для a = 1 совпадает с h = −b/2, k = c − h². Для a ≠ 1 сначала вынесите a или сразу берите формулы калькулятора.
Связь с графиком: после переписи сразу видно сдвиг на h и вертикальный сдвиг на k. Если учитель просит «построить по каноническому виду», числа с этой страницы — вход для рисунка, не замена чертежа.
Не подставляйте k в линейное уравнение как «свободный член прямой». И не ищите корень из k: k может быть отрицательным, это не подкоренное.
Итог: полный квадрат — тождество многочленов. Вершина — точка. Корни — нули. Три страницы, одни коэффициенты, три разных ответа в тетради.
Ещё проверка на числах: 5x² − 20x + 21. h = 20/10 = 2, k = (420 − 400)/20 = 1. Вид 5(x − 2)² + 1. Раскрытие: 5(x² − 4x + 4) + 1 = 5x² − 20x + 21. Если в задачнике просят «представьте в виде A(x − m)² + n», A = 5, m = 2, n = 1 — это поля a, h, k.
Сдвиг в другую сторону: x² − x + 1. h = 1/2, k = (4 − 1)/4 = 3/4. Вид (x − 1/2)² + 3/4. Дискриминант 1 − 4 = −3 < 0, корней нет, полный квадрат есть. Не останавливайтесь только потому, что уравнение «не решается».
Не смешивайте с биномом (x + 1)² = x² + 2x + 1: там раскрытие, здесь сборка. И не ищите h через логарифм — сдвиг параболы линейный по коэффициентам, не показательный.
Типичные ошибки
- Написать (2; −1) вместо (x − 2)² − 1, когда просили вид.
- Потерять множитель a перед скобкой.
- Спутать знак: (x + 2) при h = 2.
- Ждать корни уравнения в полях k и h.
- Считать полный квадрат при a = 0.
Частые вопросы
- Что значит выделить полный квадрат?
- Переписать ax² + bx + c в виде a(x − h)² + k. Для x² − 4x + 3 получите (x − 2)² − 1.
- Чем страница отличается от вершины параболы?
- Числа h и k те же, вопрос другой: алгебраический вид, не «точка на рисунке». Координаты как запрос — вершина параболы.
- Это решение уравнения?
- Нет. Корни считает квадратное уравнение. Полный квадрат помогает решить в тетради, но ответ страницы — k и h, не x.
- Почему по умолчанию ищут k?
- Свободный член вершинного вида — то, что остаётся после свёртки квадрата. h можно посчитать тем же калькулятором.
- Что если a ≠ 1?
- Множитель a остаётся снаружи: 2x² + 8 = 2(x − 0)² + 8. Не «проглатывайте» двойку внутрь скобки без компенсации.
- Нужны ли линейные множители?
- Разложение a(x − p)(x − q) — другая операция. Полный квадрат — сумма квадрата и константы, не произведение скобок.