Что считает бином Ньютона
Бином Ньютона раскладывает степень суммы (a + b)ⁿ в сумму одночленов. Калькулятор для целого n от 0 до 20 считает числовое значение (a + b)ⁿ, число слагаемых n+1 и первое слагаемое aⁿ. Раздел: алгебра.
Это не степень одного числа aⁿ и не факториал как ответ задачи. Сочетания C(n,k) как отдельный запрос на сайте не открыты: коэффициенты живут внутри разложения.
Тест: (1 + 1)³ = 8, слагаемых 4, первое 1³ = 1. Разложение 1 + 3 + 3 + 1. Другой тест: (2 + 1)² = 9, слагаемые 4 + 4 + 1.
n = 0 даёт 1 даже при a + b = 0: пустое произведение. Отрицательный показатель страница не берёт — это уже 1/(a+b)^{|n|}, другая задача.
(a + b)ⁿ = сумма C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
k бежит от 0 до n. Коэффициент C(n,k) — биномиальный. Первое слагаемое (k = 0) равно aⁿ, последнее — bⁿ. Число слагаемых всегда n+1, даже если некоторые обнуляются из-за a = 0 или b = 0.
Значение y калькулятор считает как (a + b)ⁿ напрямую и параллельно собирает слагаемые для подстановки. Если a + b отрицательно, целая степень определена: (−2)³ = −8.
Не страница сочетаний C(n,k)
«Сколькими способами выбрать k из n» — комбинаторика, её хаб ещё не открыт. Не ставьте сюда n и k в надежде получить одно C(n,k). Для n! без бинома откройте факториал.
Как пользоваться
Введите a, b и целое n от 0 до 20. Получите значение степени суммы, число слагаемых и aⁿ. Знаки a и b учитываются в каждом одночлене.
Примеры
Двойка в кубе. (1+1)³ = 8, четыре слагаемых.
Неравные. (2+1)² = 9, первое слагаемое 4.
Нулевая степень. (5 + (−5))⁰ = 1.
Отрицательный n. Ошибка.
Ещё степени
(x + 1)⁴ при x = 1 снова 16. Символический многочлен x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1 калькулятор не печатает буквой x: подставьте число в a. Буквенное тождество проверяйте в тетради, числом — здесь.
(1 − 1)ⁿ = 0ⁿ. Для n > 0 это 0. Для n = 0 страница даёт 1. Не спорьте с соглашением 0⁰ в анализе: для школьного бинома n = 0 отдельная строка.
(3 + 0)⁵ = 243 = 3⁵, одно ненулевое слагаемое, но счётчик terms всё равно 6. Нулевые члены формально есть. Первое слагаемое 3⁵ = 243 совпадает с суммой.
Связь со степенью: если b = 0, бином сводится к aⁿ. Если нужно только это, проще страница степени. Бином нужен, когда оба слагаемых живы.
Треугольник Паскаля: коэффициенты (1+1)ⁿ — степени двойки в сумме, строки 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1. Сумма строки 2ⁿ. Тест n = 3 это подтверждает.
Разность (a − b)ⁿ = (a + (−b))ⁿ. Введите отрицательное b. (5 − 3)² = 4, не 5² − 3². Ошибка «квадрат разности = разность квадратов» ломает ответ: 25 − 9 = 16 ≠ 4. Правильно 25 − 30 + 9 = 4.
Не путайте с выделением полного квадрата: там свернуть трёхчлен, здесь раскрыть степень суммы. Обратные направления.
Большое n = 20 при a = b = 1 даёт 2²⁰ = 1 048 576. Страница ограничивает n, чтобы не раздувать факториалы и строку слагаемых.
Дробные a, b допустимы: (0,5 + 0,5)² = 1. Показатель всё равно целый. Дробная степень суммы — не эта страница, смотрите корень или степень одного основания.
Проверка: сложите выписанные слагаемые и сравните с (a+b)ⁿ. Расхождение — ошибка знака в каком-то C(n,k) bᵏ.
Линейное (a + b)¹ = a + b, два слагаемых. Кубическое численно не путайте с кубическим уравнением: уравнение ищет корень многочлена, бином раскрывает степень двучлена.
Логарифм суммы ln(a+b) не равен сумме бинома. Если нужно ln, откройте натуральный логарифм от уже посчитанной суммы.
Итог: целая степень суммы двух чисел, коэффициенты внутри, без отдельной кнопки C(n,k). n вне 0…20 не считается.
(2 − 1)⁵ = 1, слагаемые знакопеременные 32 − 80 + 80 − 40 + 10 − 1. Сумма 1. Если потерять минусы у нечётных k, получите не 1. Вводите b = −1 явно.
Связь с n!: строка Паскаля n = 5 это 1, 5, 10, 10, 5, 1, где 10 = 5!/(2!3!). Калькулятор не просит вводить факториалы вручную. Для одной только величины n! без суммы бинома откройте факториал.
Не раскрывайте (a + b + c)ⁿ на этой странице: только два слагаемых в основании. Три слагаемых — сначала сгруппируйте (a + (b+c)) и считайте в два прохода в тетради, либо подставьте числа в a и b так, чтобы сумма уже была нужной.
Типичные ошибки
- Писать (a + b)² = a² + b², теряя 2ab.
- Искать одно сочетание C(n,k) вместо всей суммы.
- Подавать дробный или отрицательный n.
- Путать с степенью одного основания.
- Считать число слагаемых равным n, а не n+1.
Частые вопросы
- Что такое бином Ньютона?
- (a + b)ⁿ раскладывается в сумму C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ. Калькулятор даёт числовое значение суммы, число слагаемых n+1 и первое слагаемое aⁿ.
- Почему n только от 0 до 20?
- Целый показатель в этом диапазоне: достаточно для школы и чтобы строка слагаемых оставалась читаемой. Отрицательный n запрещён.
- Это калькулятор сочетаний?
- Нет. C(n,k) входят внутрь разложения, отдельной страницы сочетаний нет. Здесь считают (a + b)ⁿ целиком.
- Чем отличается от степени aⁿ?
- Степень возводит одно основание. Бином — степень суммы двух слагаемых.
- Зачем факториал?
- C(n,k) = n! / (k! (n−k)!). Факториал как отдельная операция — калькулятор факториала.
- Что при n = 0?
- Любое ненулевое (и даже нулевое) основание в степени 0 даёт 1 по соглашению калькулятора: (a + b)⁰ = 1, одно слагаемое.