Что такое корень n-й степени?

Число y такое, что yⁿ = x. Для n = 2 это квадратный корень, для n = 3 — кубический. Здесь n задаёте сами.

Почему нельзя извлечь чётный корень из отрицательного?

Чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Уравнению y² = −8 в действительных числах нет решения. Калькулятор останавливается.

Можно ли взять кубический корень из −8 здесь?

Да: x = −8, n = 3 → y = −2. Отдельная страница кубического корня удобнее, если n всегда 3.

Как найти подкоренное по известному корню?

Обратный ход x = yⁿ. Для y = 2, n = 4 получите 16. Степень корня n обратным ходом не ищут.

Это то же, что степень 1/n?

Для x ≥ 0 да: x^(1/n) = ⁿ√x. Отрицательные x при нечётном целом n надёжнее считать корнем, не дробной степенью. Общая степень — aⁿ.

Где логарифм?

Логарифм находит показатель: log_b x = y значит bʸ = x. Корень находит основание степени, не показатель.

Калькулятор корня n-й степени

Корень произвольной степени

Калькулятор извлекает корень n-й степени: y = ⁿ√x, то есть yⁿ = x. Обратный ход восстанавливает подкоренное x = yⁿ. Степень корня n задаётся полем, не зашита как 2 или 3.

Раздел: алгебра. Частные случаи вынесены отдельно, потому что запросы разные: квадратный корень запрещает отрицательное x, кубический корень разрешает. Здесь правило зависит от чётности n.

Тесты: ⁴√16 = 2, ³√27 = 3, обратный ход 2⁴ = 16. Чётный корень из −8 — ошибка области. Нулевая степень корня запрещена: делить показатель на ноль нельзя.

Показательная функция y = a·bˣ — рост по показателю, не извлечение корня. Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести b».

ⁿ√x и x = yⁿ

y = ⁿ√x

Прямой ход y = root(x, n). Для положительного x это x^(1/n). Для отрицательного x и нечётного целого n берётся −(|x|)^(1/n), чтобы сохранить знак. Обратный ход x = yⁿ через степень — всегда определён для конечных y и n.

Арифметический корень чётной степени неотрицателен: ⁴√16 = 2, а не −2, хотя (−2)⁴ тоже 16. Знак «плюс-минус» появляется в уравнении yⁿ = x при чётном n, не в определении арифметического корня.

Нецелые n допустимы математически как x^(1/n), но при x < 0 калькулятор отвергает нецелую и чётную степень: в действительных числах это не определено однозначно.

Чётная и нечётная степень

Нечётный целый n: знак x переходит в y. ⁵√(−32) = −2. Чётный n: x ≥ 0, y ≥ 0. Смешение правил — частая ошибка после курса квадратного корня, где всё «как чётное».

n = 1: ¹√x = x, обратный ход x = y. Практически бесполезно, но формула не ломается. n = −2 формально даёт 1/√x при x > 0; удобнее считать через степень с отрицательным показателем, если именно это нужно.

Почему n не ищут обратным ходом

Найти n из yⁿ = x — это логарифм: n = log_y x. Отдельная страница логарифма как раз для показателя. На этой странице n — параметр корня, его не восстанавливают из y и x, чтобы не дублировать логарифм.

Если задача «какая степень», откройте логарифм. Если «какой корень из числа», оставайтесь здесь.

Как пользоваться

Введите x и n, получите y. Для обратного хода введите y и n, получите x. Не оставляйте n = 0. Для отрицательного x берите нечётный целый n.

Квадратный и кубический корни можно считать и здесь (n = 2 и n = 3), но специализированные страницы короче объясняют свои запреты.

Примеры

Четвёртая степень. ⁴√16 = 2, потому что 2·2·2·2 = 16.

Кубический через n. ³√27 = 3. То же на странице кубического корня.

Обратный ход. y = 2, n = 4 → x = 16.

Запрет. x = −8, n = 2 — нет действительного корня. Для n = 3 ответ −2.

Единица. ⁿ√1 = 1 при любом ненулевом n (в действительной модели калькулятора для положительного основания).

Между кубами. ³√10 ≈ 2,154 — как на кубической странице.

Связь с логарифмом. 2⁵ = 32, значит ⁵√32 = 2 и log₂ 32 = 5 — разные искомые.

Пятая степень. 2⁵ = 32, ⁵√32 = 2. 3⁵ = 243, ⁵√243 = 3. Если в задаче «какое число в пятой степени даёт 32», это корень, не логарифм. Если «в какую степень возвести 2, чтобы получить 32» — логарифм по основанию 2.

Чётный корень и модуль. Уравнение y⁴ = 16 имеет два действительных решения ±2, но арифметический ⁴√16 равен только 2. Чтобы получить оба знака, решают уравнение yⁿ = x отдельно, не подменяя определение корня. Так же √9 = 3, хотя (−3)² = 9.

Дробный показатель на странице степени. 16^(1/4) = 2 совпадает с ⁴√16 при положительном основании. 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 8 — уже не чистый корень, а корень и степень вместе; считайте через степень или в два шага: сначала корень, потом куб.

Нуль под корнем. ⁿ√0 = 0 при n > 0. Обратный ход 0ⁿ = 0 при положительном n. Нулевая степень корня n = 0 запрещена всегда: 1/n не существует, и «корень нулевой степени» в школе не определяют. Для квадратного и кубического корня из нуля отдельные страницы дают тот же ноль.

Типичные ошибки

Писать ⁴√16 = ±2. Арифметический корень неотрицателен.
Брать √(−8) «потому что кубический же можно» — чётность разная.
Считать ⁿ√(aⁿ + bⁿ) = a + b.
Искать n на этой странице вместо логарифма.
Путать с a·bˣ: там неизвестный показатель, здесь корень.

Частые вопросы

Что такое корень n-й степени?: Число y такое, что yⁿ = x. Для n = 2 это квадратный корень, для n = 3 — кубический. Здесь n задаёте сами.
Почему нельзя извлечь чётный корень из отрицательного?: Чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Уравнению y² = −8 в действительных числах нет решения. Калькулятор останавливается.
Можно ли взять кубический корень из −8 здесь?: Да: x = −8, n = 3 → y = −2. Отдельная страница кубического корня удобнее, если n всегда 3.
Как найти подкоренное по известному корню?: Обратный ход x = yⁿ. Для y = 2, n = 4 получите 16. Степень корня n обратным ходом не ищут.
Это то же, что степень 1/n?: Для x ≥ 0 да: x^(1/n) = ⁿ√x. Отрицательные x при нечётном целом n надёжнее считать корнем, не дробной степенью. Общая степень — aⁿ.
Где логарифм?: Логарифм находит показатель: log_b x = y значит bʸ = x. Корень находит основание степени, не показатель.