Модель y = a · bˣ
Калькулятор считает показательную зависимость y = a · bˣ: начальный множитель a, основание b и показатель x. Обратный ход находит a, b или x. Это не «просто степень числа» и не линейная y = kx.
Раздел: алгебра. Чистая степень без множителя — aⁿ. Показатель из равенства bˣ = x_арг — логарифм. Линейный рост пропорционально x — прямая пропорциональность.
Тест: a = 2, b = 3, x = 2 → y = 2·9 = 18. Обратный ход по a: 18 / 3² = 2. Обратный ход по x при a = 1, b = 10, y = 100 → 2, потому что 10² = 100.
При x = 0 и b ≠ 0 имеем y = a (считая b⁰ = 1 для ненулевого b). Поэтому a называют начальным значением модели, если x отсчитывают от нуля.
Формула и обратный ход
y = a · bˣ
Прямой ход умножает a на степень основания. Обратный ход по a: a = y / bˣ. По основанию: b = (y/a)^(1/x) при x ≠ 0 — это корень x-й степени из отношения y/a. По показателю: x = ln(y/a) / ln(b).
Основание b в калькуляторе положительное: отрицательное основание с нецелым x в действительных числах ломается. Множитель a может быть отрицательным: тогда график отражён относительно оси x, а для хода по x нужно y/a > 0.
b = 1 даёт y = a при любом x. Прямой ход работает, поиск x — нет: тест с b = 1 и целевым x ожидает ошибку.
Рост и убывание
При a > 0 и b > 1 функция растёт с x. При 0 < b < 1 — убывает (каждый шаг умножает на дробь). b = 1 — константа a. Это качественная картина школьного курса, калькулятор даёт числа, не подпись «рост».
Шаг на 1 по x умножает y на b. Шаг на 2 — на b². Линейная модель прибавляет const, показательная умножает. Путать «прибавили 10%» и «умножили на 1,1» нельзя: процентный рост ближе к этой странице, чем к y = kx, если процент от текущего значения.
Как появляется логарифм
Из y = a bˣ следует y/a = bˣ, затем x = log_b (y/a) = ln(y/a)/ln(b). Поэтому обратный ход по показателю — тот же механизм, что на странице логарифма, но аргумент — отношение y/a, не «голое» y.
Если a = 1, x = log_b y. Задача «в какую степень возвести 10, чтобы получить 100» решается и там, и здесь; логарифм короче, когда множителя a нет в постановке.
Как пользоваться
Выберите искомое y, a, b или x. Для y нужны a, b, x. Для x нужны y, a, b с ограничениями области логарифма. Нулевое a при поиске x или b ломает отношение y/a.
Подстановка показывает произведение и степень, не «магический процент». Единицы условные: модель безразмерная, как вся алгебра на этих страницах.
Примеры
Базовый. a = 2, b = 3, x = 2 → 18.
Обратный ход по a. y = 18, b = 3, x = 2 → a = 2.
Показатель. y = 100, a = 1, b = 10 → x = 2.
Запрет b = 1 при поиске x. y = 100, a = 1, b = 1 — показателя нет.
Убывание. a = 16, b = 0,5, x = 3 → y = 16 · 1/8 = 2. Каждый шаг делит пополам.
Начальное. x = 0, b = 5, a = 7 → y = 7.
Корень как основание. y = 8, a = 1, x = 3 → b = 2, потому что 2³ = 8. Сверьте с кубическим корнем из 8.
Удвоение за шаг. a = 5, b = 2, x = 0, 1, 2, 3 даёт 5, 10, 20, 40. Каждый шаг x увеличивает значение вдвое. Линейная y = 5x дала бы 0, 5, 10, 15 — совсем другой ряд. Если в задаче «каждый год умножают на 2», это эта страница, не прямая пропорциональность.
Убывание вдвое. a = 80, b = 1/2, x = 4 → 80 / 16 = 5. Четыре шага деления пополам. Основание 0,5 законно; основание 1 при поиске x — нет.
Множитель не процент. Рост «на 10% за шаг» кодируют b = 1,1, не a = 10 и не b = 10. Тогда y = a · 1,1ˣ. Процентное изменение одной пары чисел без показателя шага — процентное изменение, другая постановка.
Проверка логарифмом. Для y = 80, a = 5, b = 2: y/a = 16 = 2⁴, x = 4. Сверьте ln(16)/ln(2) = 4 на странице логарифма с аргументом 16 и основанием 2.
Не степень aⁿ и не y = kx
Степень возводит одно число. Здесь два параметра формы и показатель. y = kx проходит через начало и растёт линейно: удвоение x удваивает y. У показательной удвоение x возводит множитель в квадрат: b², не 2b (если только b не 2 и x не 1 — случайное совпадение).
Квадратное уравнение и дискриминант сюда не относятся. Неравенства показательные калькулятор не решает: только значение модели и обратный ход по параметрам.
Типичные ошибки
- Считать a · bˣ как (a·b)ˣ. При a = 2, b = 3, x = 2 это 18, не 36.
- Писать a + bˣ вместо произведения.
- Искать x при b = 1 или при y/a ≤ 0.
- Путать с линейным уравнением ax + b = c.
- Подставлять проценты как «a = 10%» без перевода в множитель 1,10.
Частые вопросы
- Какая формула показательной функции?
- y = a · bˣ. Множитель a — значение при x = 0, если b⁰ = 1; b — основание; x — показатель.
- Как найти показатель x?
- x = ln(y/a) / ln(b) при a ≠ 0, y/a > 0, b > 0, b ≠ 1. Это логарифм отношения.
- Почему основание 1 запрещено при поиске x?
- 1ˣ всегда 1, y = a, показатель не восстанавливается. ln(1) = 0 — деление на ноль.
- Чем это отличается от калькулятора степени?
- Степень считает одно aⁿ без отдельного множителя a перед основанием. Здесь y = a · bˣ — модель с начальным множителем.
- Это прямая пропорциональность?
- Нет. y = kx линейна. Показательная растёт (или убывает) умножением на b на каждом шаге x.
- Где считать log_b x без множителя a?
- На странице логарифма или натурального логарифма. Уравнение a·bˣ = c, когда ищут x, — показательное уравнение.