Член с постоянным множителем
Геометрическая прогрессия умножает каждый член на один и тот же знаменатель r. Формула aₙ = a · rⁿ⁻¹ сразу даёт значение на месте n, не перечисляя промежуточные.
Контроль: a = 3, r = 2, n = 4 → 3 · 2³ = 24. Ряд: 3, 6, 12, 24. Раздел: последовательности.
При n = 1 степень нулевая: r⁰ = 1, член равен a даже если r = 0 в обычной договорённости 0⁰ = 1 для этой формулы. Знаменатель может быть дробным: ряд убывает по модулю, если |r| < 1.
aₙ = a · rⁿ⁻¹
aₙ = a · rⁿ⁻¹
Поля aₙ, a, r, n. Обратный ход: a = aₙ / rⁿ⁻¹; r = (aₙ/a)^(1/(n−1)) при n > 1; номер через натуральный логарифм.
Поиск n требует положительного отношения aₙ/a и положительного r ≠ 1. Отрицательный знаменатель для обратного n логарифм не берёт: считайте прямой ход с целым n.
Не сумма, не степень aⁿ и не среднее
Не сумма S: там складывают члены, здесь один. Не степень aⁿ без отдельного первого члена: у степени основание и показатель, нет «старта ряда» a и знаменателя r как двух ролей.
Не y = a · bˣ с вещественным x: прогрессия живёт на натуральных номерах. Не среднее геометрическое набора.
Не арифметическая прогрессия: там плюс d, здесь умножение на r. Смешение даёт правдоподобный, но чужой ряд.
Как пользоваться
Пустым одно поле. Прямой ход: a, r, n от 1 до 80. Для знаменателя n > 1. Для номера — логарифмические условия.
Отрицательный r допустим при целом n: знаки членов чередуются. Обратный поиск n тогда не сработает.
Родитель математика. Мост: показательная функция и степень.
Примеры
1. Прямая. a = 3, r = 2, n = 4 → 24.
2. Первый член. aₙ = 24, r = 2, n = 4 → a = 3.
3. Знаменатель. aₙ = 24, a = 3, n = 4 → r = 2.
4. Номер. aₙ = 24, a = 3, r = 2 → n = 4.
5. Убывание. a = 1, r = 0,5, n = 3 → 0,25.
6. Запрет. n = 1 при поиске r — деление на ноль. r = 1 при поиске n — логарифм единицы.
Ещё задачи
Лист складывают пополам: толщина удваивается. Если начать с 0,1 мм, после 6 сложений n = 7 (старт — первый член): 0,1 · 2⁶. Следите, что считать «первым» — до сгиба или после первого сгиба.
Фотоуменьшение в 0,8 раза каждый шаг. Третий кадр: a · 0,8², если первый кадр — исходник.
Бактерии удваиваются каждый час от 500. Через 4 часа это пятый член при часе 0 как n = 1: 500 · 2⁴ = 8000. Сдвиг нумерации — главная ловушка условия.
Связь с суммой: члены 3, 6, 12, 24 дают сумму 45 на соседней странице. Здесь нужен 24.
Якорь: 3 · 8 = 24. Показатель 3, не 4: степень n − 1.
r = 1: все члены a. Номер по значению a страница не найдёт — как константная арифметика при d = 0.
r = 0, n ≥ 2: нули. n = 1: снова a. Не путайте с «нет ряда».
Не подставляйте процентный рост в поле r без перевода: рост на 20 % это r = 1,2, не 20.
Проверка: aₙ / aₙ₋₁ должно быть r. Если отношение скачет, это не геометрическая прогрессия, а просто список.
После члена сумма — сосед. Показательная модель с вещественным временем — y = a · bˣ.
Школа: умножение на каждом шаге
Образ: каждый шаг — копир с масштабом r. До n-го члена копир сработал n − 1 раз.
График в линейных осях — точки на экспоненте. В логарифмической оси ординат — почти прямая, если r > 0.
Памятка: показатель n − 1, не n. Первый член уже «без копира».
Контроль n = 2: a · r — второй член по определению.
Итог: четыре поля, логарифм только для n, запрет r = 1 и n = 1 в обратных ходах.
Чертёж: точки 1, r, r², r³ по вертикали при a = 1.
Чередование знака при r < 0 — школьный ряд 2, −6, 18, −54. Прямой ход работает, логарифм номера нет.
Хаб последовательностей держит сумму и арифметического соседа отдельно.
Складки, бактерии, масштаб
Масштаб карты «в k раз мельче» на каждом листе серии — геометрический знаменатель 1/k.
Цена со скидкой 10 % каждый сезон: r = 0,9. Это не арифметика «минус 10 рублей».
Радиоактивный учебный ряд «осталось половина» — r = 1/2, но физический период полураспада живёт в другом разделе; здесь только дискретная модель.
Не путайте с средним геометрическим темпов: среднее двух темпов 1,2 и 1,5 — корень из произведения, не член прогрессии.
Якорь 3, 6, 12, 24 фиксирует r = 2.
Связь со степенью: rⁿ⁻¹ считается как степень, затем умножение на a. Страница степени не знает, что это «номер члена».
Лабораторные разведения раствора 1:2, 1:4, 1:8 — геометрический ряд концентраций.
Родитель математика. Алгебра: показательная функция.
Логарифм номера
Выпишите отношение aₙ/a и возьмите ln, делите на ln r, прибавьте 1. Если вышло 4,000 при контрольном 24, 3, 2 — верно.
Дробный n значит, что aₙ не лежит точно на прогрессии с данным r. В школе обычно ждут целое.
n ограничен 80, чтобы rⁿ не улетало в бесконечность языка чисел страницы.
Не ищите r при одном члене. Не ищите n при r = 1.
Сумму n членов берите на странице суммы, там же случай r = 1.
Типичные ошибки
- Написать aₙ = a · rⁿ вместо rⁿ⁻¹.
- Путать r с разностью d арифметической прогрессии.
- Подставить процент 20 вместо 1,2.
- Искать n при отрицательном r через логарифм.
- Смешать член с суммой ряда.
Соседи: геометрическая сумма, показательная функция, степень, среднее геометрическое, арифметический член.
Частые вопросы
- Как найти n-й член геометрической прогрессии?
- aₙ = a · rⁿ⁻¹. Для a = 3, r = 2, n = 4 получается 24. При n = 1 член равен a при любом r.
- Как найти номер n?
- n = ln(aₙ/a) / ln(r) + 1 при aₙ/a > 0, r > 0, r ≠ 1. Знаменатель 1 делает все члены равными a, номер не восстановить.
- Чем это отличается от показательной функции?
- y = a · bˣ — непрерывный показатель. Здесь показатель целый n − 1, ряд дискретный.
- Это среднее геометрическое?
- Среднее геометрическое — корень из произведения произвольных положительных чисел. Прогрессия задаёт правило члена.
- Где сумма ряда?
- Конечная сумма n членов — соседняя страница. Бесконечную сумму эта страница не считает.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.