Конечная сумма геометрического ряда
Сумма n первых членов геометрической прогрессии — конечный кусок ряда a + ar + … + arⁿ⁻¹. Обычная школьная формула S = a(rⁿ − 1)/(r − 1) ломается при r = 1; тогда каждый член равен a и S = n · a.
Контроль: 2 + 6 + 18 + 54 = 80 при a = 2, r = 3, n = 4. Второй якорь: r = 1, a = 5, n = 4 → 20. Раздел: последовательности.
Страница считает именно конечную сумму. Предел при n → ∞ здесь не берётся: для |r| ≥ 1 он расходится, для |r| < 1 это была бы другая постановка.
S = a(rⁿ − 1)/(r − 1) и случай r = 1
S = a(rⁿ − 1)/(r − 1); если r = 1, то S = n · a
Поля S, a, r, n. Знаменатель r всегда ввод: искать r из суммы — многочлен, страница его не решает. Обратный ход есть для a и n, включая ветку r = 1.
Поиск n при r ≠ 1 идёт через логарифм: n = ln(1 + S(r − 1)/a) / ln(r). Нужны r > 0, r ≠ 1 и положительное подлогарифменное выражение.
Не бесконечная сумма и не среднее
Не «сумма всей прогрессии до бесконечности». Не один член aₙ. Не среднее геометрическое нескольких чисел.
Не сумма арифметической прогрессии: там разность d и множитель n/2. Не показательная функция в точке: сумма — накопление дискретных членов.
Не произведение членов и не одна степень. Формула использует rⁿ, но ответ — сумма, не последний член.
Как пользоваться
Пустым оставьте S, a или n. Знаменатель r укажите всегда. n от 1 до 80. Если r точно 1, калькулятор переключается на S = n · a сам, вводить «почти 1» вместо 1 не нужно.
Отрицательный r допустим для прямой суммы (чередование). Обратный n через логарифм требует r > 0.
Родитель математика. Мосты: член, показательная.
Примеры
1. Обычная дробь. a = 2, r = 3, n = 4 → S = 80.
2. Знаменатель 1. a = 5, r = 1, n = 4 → S = 20.
3. Один член. n = 1, a = 5, r = 1 → S = 5.
4. Первый член. S = 80, r = 3, n = 4 → a = 2. При r = 1, S = 20, n = 4 → a = 5.
5. Число членов. S = 80, a = 2, r = 3 → n = 4. При r = 1, S = 20, a = 5 → n = 4.
6. Запрет. r = 1, a = 0, ненулевая S — n не восстановить.
Ещё задачи
Мяч: первый отскок 80 см, каждый следующий 0,5 от предыдущего, четыре отскока. a = 80, r = 0,5, n = 4 → S = 80 · (1 − 0,5⁴) / 0,5 = 150 см пути отскоков (учебная схема без падения с руки).
Зёрна на клетках: 1, 2, 4, …, 8 клеток. a = 1, r = 2, n = 8 → S = 255. Полная шахматная доска 64 клетки на этой странице упрётся в лимит n = 80, но 2⁶⁴ уже не то школьное целое, которое ждут в тетради без больших чисел.
Скидка «каждый месяц цена · 0,9», суммарная выплата за 6 месяцев при платеже, равном цене месяца, — сумма геометрического ряда платежей, не одна цена.
Сверьте с последним членом: a₄ = 2 · 3³ = 54, сумма 2 + 6 + 18 + 54 = 80.
Якорь 80 и якорь 20 (случай r = 1) закрывают обе ветки формулы.
r = −1, n чётное: пары a + (−a) дают 0. n нечётное: остаётся a. Прямой ход это считает.
Не подставляйте бесконечную формулу a/(1 − r) при конечном n. Для r = 0,5, n = 4 бесконечный предел 2a = 160, конечная сумма 150 — разные числа.
Связь со средним геометрическим: среднее не равно сумме. Для 3, 6, 12 среднее геометрическое 6, сумма 21.
После суммы член — сосед. Показательный рост непрерывного времени — y = a · bˣ.
Арифметическая сумма с постоянной разностью — другая страница, даже если числа случайно похожи.
Школа: почему отдельно r = 1
Вывод формулы: S − rS = a − a rⁿ, откуда S(1 − r) = a(1 − rⁿ). При r = 1 вычитание даёт 0 = 0, тождественность, не формулу. Остаётся сложить n одинаковых a.
Поэтому калькулятор не делит на ноль и не просит «подставить r = 1,0001». Вводите ровно 1.
Памятка: конечное n всегда. Бесконечный случай |r| < 1 — не эта страница.
Контроль n = 1: S = a при любом r, обе ветки согласованы.
Итог: r задаёте, ищете S, a или n. Многочлен для r не решаем здесь.
Чертёж: столбики a, ar, ar²; высота последнего — член, площадь — сумма.
Хаб последовательностей не смешивает эту сумму с арифметической трапецией Гаусса.
Мяч, пшеница, скидки
Учебная легенда о зёрнах на шахматной доске — геометрическая сумма при r = 2. Страница даёт конечный кусок, не миф о мешках на всю доску в бытовом калькуляторе.
Цепной бонус «каждый реферал приводит r новых, считаем n уровней» — дерево не эта формула, если ветвление не строго геометрический ряд одного столбца. Не натягивайте.
Вклад с капитализацией за n периодов ближе к члену (1 + i)ⁿ, чем к сумме; сумма аннуитета — да, геометрическая, но финансовый налог и дни страница не знает.
Не процент: 20 % это не r. r = 1,2 при росте, r = 0,8 при падении на 20 %.
Якорь: 80 при тройке и 20 при единицах.
Лабораторные разведения: суммарное количество вещества по пробиркам 1 + 1/2 + 1/4 + … конечного числа шагов.
Родитель математика. Сосед-член: aₙ.
Проверка частичной суммы
Для n = 4 выпишите четыре члена и сложите. Расхождение с 80 при a = 2, r = 3 значит, что взяли rⁿ⁻¹ вместо rⁿ в числителе или забыли вычесть 1.
Для r = 1 не используйте общую дробь вручную: сразу n · a.
Логарифмический обратный n проверьте подстановкой найденного n обратно в сумму.
Лимит n = 80 защищает от переполнения. Большие степени считайте в другой среде, не на этой странице.
Последний член для сверки — геометрическая прогрессия.
Типичные ошибки
- Делить на r − 1, когда r = 1.
- Подставить бесконечную формулу a/(1 − r) при конечном n.
- Спутать сумму с последним членом.
- Искать знаменатель r на этой странице.
- Смешать с арифметической суммой n/2 · (2a + (n − 1)d).
Соседи: геометрический член, показательная функция, среднее геометрическое, арифметическая сумма.
Частые вопросы
- Как найти сумму геометрической прогрессии?
- S = a(rⁿ − 1)/(r − 1). Если r = 1, эта дробь не определена, сумма равна n · a. Пример: 2, 3, 4 → 80; пятёрки при r = 1 и a = 5 дают 20.
- Можно найти a или n?
- Да. При r = 1: a = S/n и n = S/a. При r ≠ 1 — из той же формулы. Знаменатель r страница не ищет.
- Почему r = 1 особый?
- Все члены равны a, сумма n одинаковых слагаемых. Делить на r − 1 нельзя: ноль в знаменателе.
- Это бесконечная сумма?
- Нет. n конечно и задано. Бесконечная сумма при |r| < 1 на эту страницу не вынесена.
- Чем отличается от n-го члена?
- Член aₙ = a · rⁿ⁻¹ — одно число. Сумма складывает a, ar, …, arⁿ⁻¹.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.