Сумма всего ряда
Бесконечная геометрическая прогрессия a + ar + ar² + … имеет сумму S = a / (1 − r), если знаменатель по модулю строго меньше единицы. Иначе частичные суммы не стремятся к конечному числу, и эта страница не выдаёт «формулу наугад».
Контроль: a = 8, r = 0,5 → S = 16. Ряд 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + … складывается к 16. Раздел: последовательности.
Отрицательный знаменатель допустим, пока |r| < 1: a = 1, r = −0,5 → S = 1 / 1,5 = 2/3. Члены чередуют знак и уменьшаются.
S = a / (1 − r) при |r| < 1
S = a / (1 − r) при |r| < 1
Три поля: S, a, r. Номера n нет — ряд бесконечный. Обратный ход находит первый член или знаменатель. После поиска r страница проверяет сходимость.
При r = 0 сумма равна a: остаётся одно ненулевое слагаемое, остальные нули.
Не конечные n членов
Не S = a(rⁿ − 1)/(r − 1): там n конечно, r = 1 разрешён как n·a. Здесь r = 1 запрещён.
Не один член aₙ. Не показательная функция в точке. Не среднее.
Не гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … — он расходится, это частичные Hₙ на другой странице.
Как пользоваться
Пустым одно поле. Для суммы задайте a и r с |r| < 1. Не подставляйте 0,999 вместо 1, если в задаче знаменатель ровно 1: ряд тогда не сходится.
Родитель математика. Сосед по конечному куску: сумма n членов.
Примеры
1. Прямая. a = 8, r = 0,5 → 16.
2. Первый член. S = 16, r = 0,5 → a = 8.
3. Знаменатель. S = 16, a = 8 → r = 0,5.
4. Чередование. a = 1, r = −0,5 → 2/3.
5. Нули. r = 0, a = 5 → S = 5.
6. Расходимость. r = 1, r = −1, r = 2 — отказ.
Ещё задачи
Мяч: бесконечная сумма высот отскоков 80 + 40 + 20 + … это a = 80, r = 0,5 → 160. Реальный мяч остановится, модель — идеальная.
Скидка «навсегда 10 % от предыдущей цены» как бесконечный ряд платежей не равна одной цене: если платёж геометрический с |r| < 1, сумма конечна.
Доли: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Здесь a = 1/2, r = 1/2, S = 1.
Сверьте с частичной суммой: при тех же 8 и 0,5 четыре члена дают 15, предел 16. Разница — хвост 1.
Якорь 16 для восьмёрки с половиной. Если вышло 8 / 0,5 = 16 другим путём — вы делили на r, не на 1 − r.
r = 0,9, a = 10 → S = 100. Медленное затухание, большая сумма. r = 0,1, a = 10 → S ≈ 11,11.
Не подставляйте бесконечную формулу, когда в задаче явно «первые семь членов» — тогда сосед.
Связь с членом: члены стремятся к нулю как раз когда |r| < 1. Это условие сходимости суммы.
Показательная y = a·bˣ не суммирует ряд, она даёт одно значение.
Отрицательный a допустим: ряд стартует ниже нуля, формула та же.
Школа: почему |r| строго меньше 1
Частичная сумма Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r). Если |r| < 1, rⁿ → 0, остаётся a/(1 − r). Если |r| > 1, rⁿ взрывается. Если r = 1, все члены a. Если r = −1, два значения прыгают.
Строгое неравенство: |r| = 0,999 ещё сходится (медленно), |r| = 1 уже нет.
Памятка: нет n в ответе. Есть условие на r.
Контроль r = 0: S = a. Один ненулевой член.
Итог: три величины, фильтр |r| < 1, не путать с конечной суммой.
Чертёж: столбики, которые визуально «съеживаются» к нулю, площадь стремится к S.
Хаб последовательностей держит обе суммы рядом, чтобы не подменить предел куском.
Мяч, скидка, доли
Учебный парадокс «Ахиллес и черепаха» в геометрической версии — бесконечная сумма коротких отрезков с |r| < 1, конечный путь.
Периодическая десятичная 0,333… = 3/10 + 3/100 + … это a = 0,3, r = 0,1 → S = 1/3.
Не финансовый калькулятор аннуитета с комиссией банка: здесь чистая школьная формула.
Не проценты без перевода: убыль 20 % это r = 0,8, не 20.
Якорь: 8 / (1 − 1/2) = 16.
Лабораторные разведения «до бесконечности» — модель, пробирок всё же конечное число; для практики берите конечную сумму.
Родитель математика. Член ряда: aₙ.
Сравнение с частичной суммой
Посчитайте Sₙ на соседней странице при большом n и тех же a, r. Число должно подходить к S этой страницы. Для r = 0,5 уже n = 10 почти неотличимо от предела в школьной точности.
Для r = 0,99 нужно гораздо больше членов. Страница предела не приближает перебором, она сразу делит.
Проверьте |r| до нажатия: 1,01 визуально «почти 1», но ряд расходится.
Обратный r после S и a подставьте обратно в S = a/(1 − r).
Единицы a и S одинаковы. r безразмерный.
Типичные ошибки
- Делить на r вместо 1 − r.
- Применять формулу при r = 1 или |r| > 1.
- Подставить конечное n в эту страницу.
- Спутать с арифметической суммой.
- Забыть, что |r| < 1 строгое.
Соседи: конечная геометрическая сумма, член прогрессии, показательная функция, среднее геометрическое.
Частые вопросы
- Когда сходится бесконечная геометрическая сумма?
- Только при |r| строго меньше 1. Тогда S = a / (1 − r). Для a = 8, r = 0,5 сумма 16. При |r| ≥ 1 страница отказывает.
- Чем это отличается от суммы n членов?
- Конечная сумма зависит от n. Здесь n нет: ряд бесконечный. При r = 0,5 и n = 4 конечная сумма 15a, предел 2a.
- Можно найти a или r?
- a = S(1 − r). r = 1 − a/S, после чего снова проверяют |r| < 1. При S = 0 знаменатель не восстановить.
- Что с r = 1 и r = −1?
- Ряд не сходится: при 1 все члены равны a, при −1 члены чередуют знак и не стремятся к нулю как нужно для этой формулы.
- Это среднее геометрическое?
- Среднее — корень из произведения. Бесконечная сумма — накопление членов ряда.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.