Частичная сумма 1 + 1/2 + … + 1/n
Гармоническое число Hₙ складывает обратные последовательных натуральных. Это не «среднее гармоническое оценок» и не бесконечный предел: предел не существует, кусок для каждого n конечен.
Контроль: n = 1 → 1; n = 2 → 1,5; n = 6 → 2,45. Раздел: последовательности.
H₄ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12 ≈ 2,083. Страница печатает десятичное значение суммы.
Hₙ = Σ 1/k
Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n
Поля H и n. Только прямой ход. Алгоритм — сложение 1/k от 1 до n. n до 10 000.
Закрытой «одной дроби» для произвольного n нет. Не путайте с интегралом ln n: это приближение, не ответ страницы.
Не среднее гармоническое
Не H = n / Σ(1/xᵢ) для списка скоростей. Там xᵢ любые положительные, здесь фиксированные 1, 2, …, n.
Не среднее арифметическое. Не сумма 1 + 2 + … + n — то треугольное, здесь обратные.
Не геометрическая сумма и не бесконечная геометрическая: гармонический ряд без общего знаменателя r.
Как пользоваться
Введите натуральное n. Прочитайте Hₙ. Номер по сумме не ищут.
Родитель математика. Если нужны средние скоростей — среднее гармоническое.
Примеры
1. Старт. n = 1 → 1.
2. Два. n = 2 → 1,5.
3. Шесть. n = 6 → 2,45.
4. Четыре. n = 4 → 25/12 ≈ 2,0833.
5. Запрет. n = 0.
Ещё задачи
Черпак из колодца: учебная задача про время, пропорциональное 1 + 1/2 + … — гармонический рост, не линейный.
H₁₀ ≈ 2,928. Уже почти 3, хотя n = 10. Дальше Hₙ обгоняет любое число, пусть медленно: в этом и расходимость.
Сравните с Tₙ: T₁₀ = 55 огромное, H₁₀ меньше трёх. Обратные «сжимают» ряд.
Якорь 2,45 для шестёрки: 1 + 0,5 + 1/3 + 0,25 + 0,2 + 1/6. Если вышло 6 — сложили натуральные, не обратные.
Не подставляйте r = 1 : гармонический ряд не геометрический.
Среднее гармоническое двух чисел 2 и 6 равно 3. H₂ = 1,5. Совпадение слов «гармоническое» не делает числа равными.
Hₙ ≈ ln n + γ, γ ≈ 0,577. Страница эту константу не добавляет: она суммирует точно (в пределах числа).
Для n = 10000 сумма около 9,79. Потолок защищает от слишком длинного цикла в браузере.
После H можно сравнить с средним 1, 1/2, …, 1/n — это другое: среднее тех же слагаемых есть Hₙ/n, очень маленькое.
Музыкальный гармонический ряд обертонов — физика струны, не эта сумма, хотя название общее.
Школа: ряд расходится, кусок конечен
Группировка (1) + (1/2) + (1/3+1/4) + (четыре слагаемых > 1/2) + … показывает, что хвост бесконечно добавляет «по половине». Предела нет. Но каждый конкретный Hₙ — обычное число.
Памятка: страница не говорит «сумма ряда равна бесконечности» числом. Она считает кусок.
Контроль H₂ = 3/2. Два слагаемых, не среднее 1 и 2.
Итог: только H по n, не среднее, не предел, не геометрия r.
Чертёж: столбики высоты 1, 1/2, 1/3, …, площадь растёт как логарифм.
Хаб последовательностей отделяет Hₙ от среднего гармонического нарочно.
Черпак, струны, сравнение со ln n
Задача про черпание пруда порциями 1, 1/2, 1/3 объёма — модель Hₙ, не физика насоса.
Оценки сложности алгоритмов иногда пишут Hₙ вместо ln n. Здесь учебный счёт, не асимптотика кода.
Не бесконечная геометрическая с |r| < 1: та сходится, гармоническая нет.
Якорь: H₁ = 1, H₂ = 1,5, H₆ = 2,45.
Родитель математика. Сосед-среднее: гармоническое среднее.
Порядок сложения
Складываем от 1 к n, не от больших обратных. Для n ≤ 10 000 порядок не меняет школьный ответ в видимых знаках.
Сверьте H₄ вручную как 25/12. Калькулятор десятичный.
Не ищите n из H подбором на странице.
n = 1 обязательно: H₁ = 1, не «пустая сумма 0».
Треугольное для контраста суммы прямых натуральных: Tₙ.
Сравните H₁₀ и ln 10 + 0,577: логарифм даст около 2,88, страница — около 2,93. Разница как раз иллюстрирует, что Hₙ не заменяют на ln n в контрольной, если просили сумму.
Для устного счёта: Hₙ растёт медленно. Чтобы перевалить за 5, нужно уже сотни слагаемых, не пять. Это отличает ряд от геометрического с r = 2.
Не округляйте каждый 1/k отдельно до десятых и не складывайте округлённое: ошибка накопится. Калькулятор держит больше знаков внутри суммы.
Типичные ошибки
- Спутать с средним гармоническим списка.
- Сложить 1 + 2 + … + n вместо обратных.
- Ждать конечный предел бесконечного ряда.
- Подставить геометрическую формулу с r = 1.
- Искать n по известному H.
Соседи: среднее гармоническое, арифметическая сумма, геометрическая сумма, среднее.
Частые вопросы
- Что такое гармоническое число Hₙ?
- Сумма 1 + 1/2 + … + 1/n. H₁ = 1, H₂ = 1,5, H₆ = 2,45. Это не среднее набора чисел.
- Можно найти n по H?
- Нет. Страница считает только H по натуральному n от 1 до 10 000.
- Чем отличается от среднего гармонического?
- Среднее гармоническое — n / (1/x₁ + … + 1/xₙ) для произвольных xᵢ. Hₙ — сумма обратных первых n натуральных.
- Ряд сходится?
- Бесконечный гармонический ряд расходится. Hₙ растёт примерно как ln n. Страница считает конечный кусок, не предел.
- Это геометрическая сумма?
- Геометрическая умножает на r. Здесь знаменатели 1, 2, 3, … разные.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.