Dramtezi Calc

Последовательности — прогрессии и числа Фибоначчи

Арифметическая и геометрическая прогрессии, конечная и бесконечная геометрические суммы, треугольные и гармонические числа, Фибоначчи, Люка и линейная рекуррента второго порядка.

Калькуляторы раздела

Арифметическая прогрессияn-й член арифметической прогрессии: aₙ = a + (n − 1)d. Калькулятор считает aₙ и умеет найти a, d или n. При n = 1 член равен a; при d = 0 все члены одинаковы.Сумма арифметической прогрессииСумма n членов арифметической прогрессии: S = n/2 · (2a + (n − 1)d). Можно найти a или d. Номер n страница не восстанавливает: это квадратное уравнение.Геометрическая прогрессияn-й член геометрической прогрессии: aₙ = a · rⁿ⁻¹. При n = 1 получается a. Номер n ищут через логарифм, если r > 0 и r ≠ 1.Сумма геометрической прогрессииКонечная сумма геометрической прогрессии: S = a(rⁿ − 1)/(r − 1). Школьный случай r = 1 даёт S = n · a. Знаменатель r задаёте сами, страница его не ищет.Числа ФибоначчиШкольные числа Фибоначчи: F₁ = 1, F₂ = 1, каждый следующий — сумма двух предыдущих. Калькулятор считает Fₙ по целому n от 1 до 70 и не ищет номер по значению.Бесконечная геометрическая суммаБесконечная сумма геометрической прогрессии: S = a / (1 − r), если |r| строго меньше 1. При |r| ≥ 1 страница отказывает: ряд не сходится. Это не конечная сумма n членов.Треугольное числоТреугольное число: Tₙ = n(n + 1) / 2 — столько точек в треугольнике со стороной n, или сумма 1 + 2 + … + n. Калькулятор считает T и умеет найти n.Числа ЛюкаЧисла Люка: L₁ = 1, L₂ = 3, дальше сумма двух предыдущих. Та же рекуррента, что у Фибоначчи, но другой старт. Калькулятор считает Lₙ по n от 1 до 70.Гармоническое числоГармоническое число Hₙ — сумма обратных 1 + 1/2 + … + 1/n. Калькулятор считает H по целому n. Это не среднее гармоническое списка и не бесконечный гармонический ряд.Линейная рекуррента 2-го порядкаЛинейная рекуррента второго порядка: uₙ = a · uₙ₋₁ + b · uₙ₋₂ при известных u₀ и u₁. Фибоначчи и Люка — частные старты с a = b = 1. Страница считает только uₙ по n, не ищет коэффициенты.Среднее арифметическоеКалькулятор считает среднее арифметическое: складывает все числа и делит сумму на их количество. Формула: x̄ = (x₁ + … + xₙ) / n.Линейное уравнениеКалькулятор решает ax + b = c: неизвестное x = (c − b) / a. Обратный ход находит a, b или c. Если a = 0, это уже не уравнение первой степени по x.Показательная функцияПоказательная модель y = a · bˣ: начальный множитель a, основание b и показатель x. Калькулятор считает y и умеет найти a, b или x.Среднее геометрическоеСреднее геометрическое — корень n-й степени из произведения n положительных чисел. Его используют для средних темпов роста, а не для «обычного» среднего баллов.Степень числаКалькулятор считает aⁿ: основание a умножается само на себя n раз при натуральном показателе. Дробный показатель связан с корнями.

Прогрессии и рекурренты

Раздел собирает школьные последовательности с явным правилом члена. Родитель — математика. Каждая страница закрывает один запрос: один член, одна конечная сумма или одно число Фибоначчи.

Мосты в уже открытые темы: линейное уравнение (арифметика как линейная функция номера), показательная функция (геометрия как умножение), среднее геометрическое и степень.

Арифметическая

n-й член aₙ = a + (n − 1)d. Сумма S = n/2 · (2a + (n − 1)d). Разность может быть нулевой: тогда все члены равны a.

Геометрическая

n-й член aₙ = a · rⁿ⁻¹. Конечная сумма учитывает r = 1 отдельно. Бесконечная сумма S = a/(1 − r) только при |r| < 1. Это не среднее геометрическое набора чисел.

Фибоначчи

Fₙ при F₁ = 1, F₂ = 1. Люка при L₁ = 1, L₂ = 3. Общая рекуррента uₙ = a uₙ₋₁ + b uₙ₋₂ задаёт оба как частные случаи. Треугольное Tₙ = n(n + 1)/2 — сумма натуральных. Hₙ — сумма обратных, не среднее гармоническое.

Чего здесь нет

Нет комбинаторики (размещения, сочетания) и нет финансовой капитализации как отдельной модели вклада. Каждая страница этого хаба уже с формулой и текстом.

Как пользоваться

Выберите член, сумму или именной ряд. Для прогрессий задайте первый член и шаг. Для бесконечной геометрической суммы нужен |r| < 1. Для Фибоначчи и Люка достаточно n. Общая рекуррента просит два коэффициента и два старта.

Вернуться к разделу Математика.

Частые вопросы

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
Арифметическая прибавляет одну и ту же разность d. Геометрическая умножает на один и тот же знаменатель r.
Где сумма, а где один член?
Член — страницы прогрессий. Сумма n первых членов — арифметическая сумма и геометрическая сумма.
Что делать, если знаменатель равен 1?
Все члены равны первому. Конечная сумма n членов тогда равна n · a. Бесконечная сумма при r = 1 не сходится.
Это среднее арифметическое набора?
Среднее складывает произвольные числа и делит на количество. Прогрессия задаёт правило члена, а не «типичное» значение списка.
Как связаны Фибоначчи и линейное уравнение?
Фибоначчи — рекуррента двух предыдущих. Линейное уравнение ищет одно x, а не последовательность.
Родитель раздела?
Математика. Рядом алгебра и средние.