Dramtezi Calc

Комбинаторика — размещения, Каталан и разбиения

P(n,k), C(n,k), n^k, мультимножества, мультиномиал, беспорядки, круговые перестановки, числа Каталана, Стирлинг 2-го рода и сюръекции. Целые n, k, учебный счёт, не производящие функции.

Калькуляторы раздела

РазмещенияP(n,k) = n!/(n−k)!. P(5,2) = 20. P(5,0) = 1. k > n — ошибка. Порядок важен, повторять элемент нельзя.СочетанияC(n,k) = n!/(k!(n−k)!). C(5,2) = 10 = C(5,3). C(n,0) = 1. k > n — ошибка. Порядок не учитывают.Размещения с повторениямиA = n^k. 5³ = 125. 2⁰ = 1. 0⁵ = 0. 0⁰ — ошибка. Порядок важен, вид можно брать снова.Сочетания с повторениямиC(n+k−1, k). 5 видов по 3 штуки → 35. k = 0 → 1. n = 0 и k > 0 — ошибка. Порядок не важен.Полиномиальный коэффициентM = n! / (n₁! n₂! …), n = сумма nᵢ. [2,2,2] → 90. [3,1] → 4 = C(4,3). Сумма долей ≤ 20. Нужны хотя бы две доли.Беспорядки!n = (n−1)[!(n−1)+!(n−2)]. !0 = 1, !1 = 0, !2 = 1, !4 = 9, !5 = 44. Не круговые (n−1)! и не все n! перестановок.Числа КаталанаC_n = C(2n,n)/(n+1). C_0 = 1, C_2 = 2, C_3 = 5, C_4 = 14, C_5 = 42. Не путать с C(n,k) сочетаний.Круговые перестановкиP = (n−1)!. n = 1 → 1, n = 4 → 6, n = 5 → 24. n = 0 нельзя. Вращения стола не различают. Не !n шляп.Числа Стирлинга 2-го родаS(n,k) = k S(n−1,k) + S(n−1,k−1). S(5,2) = 15, S(5,3) = 25, S(n,1) = 1, S(n,n) = 1. Блоки без имён. k > n — ошибка.Число сюръекцийN = k! S(n,k). 3 элемента на 2 метки → 6. N(n,n) = n!, N(n,1) = 1. Не n^k и не голое S(n,k). k > n — ошибка.ФакториалФакториал n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. По определению 0! = 1. Калькулятор считает только целые неотрицательные n.Бином НьютонаБином Ньютона: (a + b)ⁿ = сумма C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ. Калькулятор считает числовое значение, число слагаемых n+1 и первое слагаемое aⁿ для целого n от 0 до 20.Степень числаКалькулятор считает aⁿ: основание a умножается само на себя n раз при натуральном показателе. Дробный показатель связан с корнями.Биномиальное распределениеP(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ при целых 0 ≤ k ≤ n и p от 0 до 1. Страница считает одну точку pmf, не функцию распределения и не Пуассона.

Комбинаторика — сколько способов

Десять учебных счётчиков. Родитель — математика. Мосты: n!, степень, бином Ньютона, биномиальная вероятность.

С порядком и без

Размещения P(n,k) = n!/(n−k)! — кортеж без повторов. Сочетания C(n,k) — подмножество. k не больше n. Пустой набор даёт 1. Полиномиальный коэффициент при заданных кратностях: [2,2,2] → 90.

С повторениями

A = n^k — слова. C(n+k−1, k) — мультимножества. Не путайте 125 и 35 для пятёрки и тройки.

Беспорядки, круг, Каталан

Субфакториал !n: !5 = 44. Круг (n−1)!: четверо → 6. C_n: скобки, C_4 = 14. n для !n и круга до 15, Каталан до 20.

Блоки и сюръекции

S(n,k) режет множество на k безымянных непустых куч. N = k! S красит кучи. S(5,2) = 15, N(3,2) = 6.

Чего здесь нет

Нет Стирлинга 1-го рода, нет производящих функций как калькулятора ряда, нет n > 20 (для !n, круга и сюръекций — выше 15). Нет Бернсайда отражений ожерелья.

Как пользоваться

Порядок и без повтора — размещения. Набор — сочетания. Повтор и места — n^k. Пакет с повтором сорта — мультимножества. Состав букв известен — мультиномиал. Никто на своём месте — беспорядки. Стол без номеров — круг. Скобки — Каталан. Безымянные комнаты — Стирлинг. Именные ящики без пустых — сюръекции.

Вернуться к разделу Математика.

Частые вопросы

P и C — в чём разница?
P(n,k) нумерует места: P(5,2) = 20. C(n,k) набор без порядка: C(5,2) = 10. P = C · k!.
Когда писать n^k?
Размещения с повторениями: порядок важен, вид можно брать снова. 5³ = 125. 0⁰ страница не считает.
Шляпы и круглый стол — одно?
!5 = 44 — никто на своём месте. (n−1)! — вращения стола неразличимы: четверо → 6.
Что такое числа Каталана?
C_n = C(2n,n)/(n+1). C_4 = 14 правильных скобочных слов. Не обычное C(n,k).
Стирлинг и сюръекции?
S(n,k) — неподписанные блоки, S(5,2) = 15. N = k! S(n,k) — именные метки, 3→2 даёт 6.
Родитель раздела?
Математика. Рядом алгебра и теория чисел. Мост: n!.