Сколько упорядоченных кортежей длины k из n различных
Первое место — n вариантов, второе — n−1, и так k раз. Повторять выбранное нельзя. Раздел: комбинаторика.
Контроль: P(5,2) = 20. P(5,0) = 1. P(5,5) = 120. P(10,2) = 90.
n и k — целые от 0 до 20, k ≤ n. Родитель математика.
P(n, k) = n! / (n − k)!
P(n, k) = n! / (n − k)!
Три поля, искомое — P. Страница не ищет n или k по ответу: корней может быть несколько. Факториал считает одно n!, не частное двух.
Не сочетания и не n^k
Не неупорядоченные подмножества. Не слова с повторениями букв. Не степень как алгебра без сюжета мест: 5² = 25, а P(5,2) = 20. Не бином (a+b)ⁿ.
Как пользоваться
Два целых: сколько объектов в запасе и сколько мест в кортеже. Получите число способов расставить без повторов. n и k больше 20 школа на этой странице не гоняет — пишите произведение вручную.
Примеры
1. Два из пяти. 5×4 = 20.
2. Пустой. k = 0 → 1.
3. Все. P(5,5) = 120 = 5!.
4. Десять по два. 10×9 = 90.
5. Запрет. k = 6 при n = 5.
Ещё задачи
Три призовых места из 8 бегунов: P(8,3) = 8×7×6 = 336. Медали разные, порядок важен.
Код из 4 различных цифр, первая не ноль — это уже с ограничением, не чистое P(10,4). Страница ограничения «не ноль» не знает.
Связь с C: P(n,k) = C(n,k) · k!. Проверка: 10 × 2 = 20.
Четыре книги на полке из семи: P(7,4). Если книги можно ставить стопкой как множество — это сочетания.
Не кладите вероятность в P: сосед биномиальная вероятность уже делит на 2ⁿ или C(n,k) p^k.
P(6,1) = 6: одно место, шесть кандидатов.
Дежурство двое из 12 по очереди утром и вечером: P(12,2) = 132, не C(12,2) = 66.
PIN из 10 цифр длины 4 с повтором — 10000, без повтора P(10,4) = 5040.
Одна перестановка колоды 52 страница не считает: n > 20.
Валюта одна: безразмерное целое число способов.
Произведение k скобок
Чертёж: k окошек в ряд, над первым n, над вторым n−1. Не мешок без номеров мест.
Памятка: порядок, без повторов, k ≤ n.
Хаб комбинаторики ставит P рядом с C, чтобы не делить лишний раз на k! «на глаз».
Итог: целые n, k, пустой кортеж 1, сверх запаса нельзя.
Порядок и очередь
АБ и БА — два размещения, одно сочетание. Если задача про «кого вызвали к доске первым и вторым» — эта страница. Если «какая пара пойдёт к доске» — сочетания.
Круговая рассадка «ожерелье» — не P(n,n): вращения склеивают. Это сосед (n−1)!, не эта страница линейных кортежей.
Родитель математика. Сосед по n!: факториал.
Итог журнала: P = n!/(n−k)!, порядок, без повторов.
Контроль: 20; 1; 120; 90. k > n нельзя.
Пример: P(4,2) = 12. Пары мест в квадрате танца.
Не подставляйте 5².
Рабочий пример: P(9,3) = 504. Три различные буквы в начале шифра из девяти.
Связь с степенью: одинаковые основания только если k = 1, тогда P(n,1) = n = n¹.
Итог для отчёта: запас n, длина k, произведение убывающих множителей.
Финальный якорь: P(5,2) = 20. k = 6 при пяти — ошибка.
Добор: не называйте размещения «сочетаниями из n по k» в тетради — учитель зачеркнёт.
Ещё якорь: P(7,0) = 1. Пустой выбор упорядочить нечем, способ один.
Журнал: капитан и помощник из 15: P(15,2) = 210. Если роли одинаковые — C(15,2) = 105.
Не путайте с мультимножествами: там повторы вида разрешены.
Финальный блок: кортеж без повторов, целые до 20, без круговых склеек.
Ещё контроль: P(6,2) = 30. P(6,6) = 720.
Почему делят на (n−k)!? Это хвост факториала, который не участвует в расстановке. Эквивалентно k множителям подряд.
Итог абзаца: упорядочить k различных из n.
Связь с полиномиальным: все nᵢ = 1 даёт n!, как P(n,n).
Два забега: два P, не сумма, если независимы; если те же люди — уже другое условие.
Финальный добор: P(n,k), не C, не n^k, не (a+b)ⁿ.
Отчёт: «двадцать способов» без 5 и 2 не проверить.
Стык с n!: полный ряд мест.
Не кладите 0,5 в k.
Якорь: 20; 1; 120; 90. k > n нельзя.
Приложение: три различные краски на трёх полосах флага из 6 цветов: P(6,3) = 120. Если полосы можно красить одним цветом — n^k.
Одинаковые объекты в запасе ломают «различные»: тогда мультиномиал или другая модель.
Повторный расчёт после того, как одного вычеркнули: n уменьшилось, не делите старое P «на глаз».
Контрольная запись в тетради: P(n,k) = n (n−1) … (n−k+1), столько множителей, сколько k. Для k = 2 всегда n(n−1). Для k = 3 добавьте ещё (n−2). Так проверяют 20 = 5×4 без факториалов в числителе и знаменателе.
Типичные ошибки
- Считать C вместо P, когда места разные.
- Писать n^k при запрете повторов.
- k > n «нулями добить».
- Смешать с круговыми (n−1)! — они на соседней странице.
- Дробные n.
Соседи: сочетания, факториал, n^k, бином, степень.
Итог добора: упорядоченные кортежи без повторений, P = n!/(n−k)!, k ≤ n ≤ 20.
Частые вопросы
- Сколько размещений из 5 по 2?
- P(5,2) = 5×4 = 20. Это 5! / 3!.
- P(n,0) чему равно?
- 1: пустой кортеж один. P(n,n) = n!, полная перестановка.
- Если порядок не важен?
- Сочетания C(n,k). P(5,2) = 20, C(5,2) = 10: деление на 2!.
- Можно брать элемент снова?
- A = n^k. Здесь без повторений, k не больше n.
- k больше n?
- Ошибка. Без повторений кортеж длиннее запаса не собрать.
- Где хаб?
- Комбинаторика.
Источники
- Школьная комбинаторика: P(n,k) = n!/(n−k)!, C(n,k) = n!/(k!(n−k)!), размещения с повторениями n^k, сочетания с повторениями C(n+k−1, k), полиномиальный коэффициент n!/(n₁! n₂! …).