Перестановки по кругу, вращения неразличимы
Если стол можно повернуть, рассадки, которые совмещаются поворотом, — одна. Фиксируют одного человека и расставляют остальных: (n−1)!. Раздел: комбинаторика.
Контроль: n = 1 → 1, n = 4 → 6, n = 5 → 24, n = 6 → 120. n = 0 — ошибка.
n целое от 1 до 15. Родитель математика.
P = (n − 1)!
P = (n − 1)!
Искомое — P. Это факториал от n−1, не от n. Страница сама вычитает единицу.
Не n! и не беспорядки
Не n! линейного ряда. Не !n шляп. Не P(n,k) кортежа. Не анаграммы с повторами букв.
Как пользоваться
Число различных людей вокруг стола без «имени места». Если места пронумерованы (окно, дверь) — это уже n!, берите факториал. Если ожерелье можно перевернуть — делите ещё на 2 в тетради, страница отражения не знает.
Примеры
1. Один. 1.
2. Четверо. 6.
3. Пятеро. 24.
4. Шестеро. 120, как 5!.
5. Запрет. n = 0.
Ещё задачи
Рыцари Круглого стола из 8: 7! = 5040, если король не фиксирован отдельно. Если король сидит на троне, остальные 7! — уже не эта формула «все равны», а фиксация трона: тогда 7!, что совпадает с (8−1)!. Удобно думать: трон фиксирует вращение.
Бусы из 5 разных бусин, нельзя переворачивать: 24. Можно перевернуть: 12 в тетради.
Связь с P(n,n): поделите на n. P(5,5) = 120, /5 = 24.
Двое соседей хотят сидеть рядом: склейте их в одного, круг из n−1, умножьте на 2 ориентации склейки: 2·(n−2)!. Страница склейку не делает.
Не кладите k.
Хоровод детей 10: 9! = 362880. Фото «с этой стороны зала» может ещё отождествить отражение.
!5 = 44 про конверты, не про стулья по кругу.
Один пустой стул ломает «все различны и мест ровно n».
Размерность: число классов рассадок.
Два независимых стола — произведение двух P.
Фиксируем одного
Чертёж: круг стульев, один гость приклеен, стрелки (n−1)! для остальных по дуге.
Памятка: поворот не считается, отражение — отдельно.
Хаб комбинаторики рядом с n!, чтобы не забыть вычесть единицу.
Итог: n ≥ 1, P = (n−1)!, без зеркала.
Ожерелье и отражения
Диэдральная группа: ещё отражения, если бусину можно перевернуть. Тогда примерно (n−1)!/2 для n > 2, когда нет симметрии. Симметричные ожерелья считаются плохо этой оценкой — Бернсайд в тетради. Страница только вращения.
Часы с подписанным циферблатом — места разные, это n!.
Родитель математика. Сосед по ряду: n!.
Итог журнала: (n−1)!, круг, не !n, не P(n,k).
Контроль: 1; 6; 24; 120. Нуль нельзя.
Пример: семеро → 720 = 6!.
Не подставляйте 7! = 5040, если стол круглый без номеров.
Рабочий пример: трое → 2. АВС по часовой и ACB. Третий поворот — тот же класс, что первый.
Связь с C: выбрать k из n на круг — уже другая модель «ожерелья из одинаковых мест». Здесь все n различны и все сидят.
Итог для отчёта: n людей, вращения склеены, факториал n−1.
Финальный якорь: 4 человека → 6. n = 0 нельзя.
Добор: не называйте это беспорядком шляп.
Ещё якорь: n = 2 → 1. Двое напротив: поворот на 180° даёт ту же пару мест относительно друг друга, если мест нет номеров. Споры «двое» в учебниках бывают; страница даёт 1! = 1.
Журнал: банкет 12 без карточек мест: 11!. С именными табличками у приборов — 12!.
Не путайте с n^n раскрасок.
Финальный блок: круг, вращения, n ≤ 15, без зеркала внутри формулы.
Ещё контроль: n = 8 → 5040. n = 3 → 2.
Почему делят на n? Ровно n поворотов переводят любую линейную расстановку в класс. Стабилизатор тривиален, когда все различны.
Итог абзаца: хоровод без «первого стула».
Связь с субфакториалом: можно спросить круговой беспорядок (метод встречаемости) — не эта страница.
Два круга гостей — два расчёта.
Финальный добор: (n−1)!, не n!, не !n, не C(n,k).
Отчёт: «шесть рассадок» без n = 4 не проверить.
Стык с P(4,4): 24 линейно, 6 по кругу.
Не кладите 4,5.
Якорь: 1; 6; 24; 120. Нуль нельзя.
Приложение: карусель из 9 разных фигурок: 8! = 40320 поз относительно пейзажа, если пейзаж крутится вместе — ещё склейка.
Одинаковые гости (близнецы неразличимы) — делите на факториалы кратностей, как мультиномиал, затем ещё на вращения осторожно.
Повторный расчёт после того, как места пронумеровали: переходите на n!.
Ожерелье с переворотом (можно снять и перевернуть) — не эта страница: тогда классы Диэдра, делят ещё на отражения, если нет симметрии. Здесь только вращения, как если стол нельзя перевернуть.
Контроль ещё раз: n = 1 даёт 0! = 1 (один человек за столом), n = 5 даёт 24, не !5 = 44 и не 5! = 120.
Типичные ошибки
- Ответить n! на круглый стол.
- Спутать с !n.
- Забыть, что отражение — не поворот.
- n = 0.
- n > 15.
Соседи: факториал, размещения, беспорядки, сочетания, полиномиальный коэффициент.
Итог добора: круговые перестановки (n−1)!, вращения склеены, n от 1 до 15, без зеркала.
Частые вопросы
- Сколько рассадок четырёх гостей по кругу?
- (4 − 1)! = 6. Линейно было бы 24, но поворот стола не создаёт новую картину.
- Один человек?
- 0! = 1. Пустой круг n = 0 страница не считает.
- Никто не напротив своей карточки?
- Беспорядки !n. Другой запрет, не поворот.
- n больше 15?
- Страница не считает, чтобы (n−1)! оставалось точным целым.
- Где хаб?
- Комбинаторика.
Источники
- Школьная комбинаторика: P(n,k) = n!/(n−k)!, C(n,k) = n!/(k!(n−k)!), размещения с повторениями n^k, сочетания с повторениями C(n+k−1, k), полиномиальный коэффициент n!/(n₁! n₂! …).