Упорядоченные наборы длины k, вид можно брать снова
Каждое из k мест независимо выбирает один из n видов. Произведение n·n·…·n = n^k. Раздел: комбинаторика.
Контроль: 5³ = 125. 2⁰ = 1. 0⁵ = 0. 10² = 100. 0⁰ — отказ.
n и k целые 0…20. Родитель математика.
A = n^k
A = n^k
Искомое — A. Не путайте основание и показатель: n видов, k позиций. Степень переставляет роли x и показателя иначе в названиях полей.
Не P(n,k) без повторов
Не убывающее произведение n(n−1)…. Не подмножества. Не неупорядоченный мультивыбор: там порядок не важен. Не n! кроме случая, который сюда не равен.
Как пользоваться
Алфавит из n символов, длина слова k, символы независимы. Пароль, байт, раскраска клеток, если цвета можно повторять. Если «все цифры разные» — другая страница.
Примеры
1. Пять в кубе. 125.
2. Пустая длина. 2⁰ = 1.
3. Пустой алфавит. 0⁵ = 0.
4. Десять по два. 100.
5. Запрет. 0⁰.
Ещё задачи
PIN из 4 цифр 0–9 с повтором: 10⁴ = 10000. Без повтора P(10,4) = 5040.
Байт: 2⁸ = 256, но 8 > … 8 ≤ 20, n = 2 k = 8 → 256. Страница влезет.
Три кубика с 6 гранями: 6³ = 216 упорядоченных исходов, если кубики разного цвета. Неупорядоченный набор очков — не эта формула.
Связь с звёздами: число неупорядоченных содержимых урны другое.
Флаг из 3 полос, 4 краски, соседние могут совпасть: 4³. Если соседние различны — не n^k и не P: это 4×3×3.
Не кладите 1,5 в n.
Код из букв А,Б,В длины 2: 9, не 6. АБ и БА разные, АА можно.
Биномиальные исходы 2^n — частный случай n = 2 видов успех/неуспех по попыткам? Нет: там n попыток и k успехов с C. Не подменяйте.
Один символ алфавита длины 7: 1^7 = 1. Скучное слово из одних «а».
Размерность: число слов, не биты, хотя log₂ иногда рядом в тетради.
Алфавит в степень длины
Чертёж: k ячеек, в каждой список из n букв, стрелки независимы.
Памятка: повтор разрешён, порядок важен.
Хаб комбинаторики держит n^k отдельно от P, потому что ученик пишет 5³ вместо 5×4×3.
Итог: целые, 0⁰ нельзя, пустая длина 1 при n > 0.
PIN, байты и 0⁰
Соглашение 0⁰ = 1 в комбинаторике пустых функций из пустого множества иногда принимают. Здесь отказ, чтобы не спорить с алгеброй предела. Задайте хотя бы одно из n, k ненулевым.
Байт и ниббл: k = 4 или 8 при n = 2. Не путайте с HEX цвета — там 16³ канала, не эта страница, и HEX уже в вебе.
Родитель математика. Сосед по степени как операции: y = x^n.
Итог журнала: A = n^k, повтор, порядок, не P.
Контроль: 125; 1; 0; 100. 0⁰ нельзя.
Пример: 3⁴ = 81. Четыре независимых выбора из тройки.
Не подставляйте P(3,4) — его нет.
Рабочий пример: 7² = 49 пар с повтором из семи дней «сегодня и завтра независимо» — искусственно, но арифметика та.
Связь с n!: n! считает перестановки без повтора всех n, не n^n. n^n — слова длины n, повтор можно. Для n = 3: 27 против 6.
Итог для отчёта: виды, длина, степень.
Финальный якорь: 5³ = 125. 0⁰ запрещено.
Добор: не называйте это сочетаниями.
Ещё якорь: 1^k = 1. k^0 = 1 при k > 0.
Журнал: номер из 3 цифр 000–999 это 10³ = 1000, включая ведущие нули. Без ведущих — не чистая степень.
Не путайте с C(n,k): набор без порядка и без повтора элемента.
Финальный блок: независимые места, повтор, 0⁰ отказ, n,k ≤ 20.
Ещё контроль: 4³ = 64. 8¹ = 8.
Почему 0^k = 0 при k > 0? Не из чего выбрать первую букву.
Итог абзаца: слово в алфавите, места независимы.
Связь с коэффициентом: коэффициент считает слова с заданным составом букв, а n^k — все слова. Сумма мультиномиалов по составам даёт n^k.
Два алфавита подряд (латиница затем цифры) — произведение двух A, не одно поле n.
Финальный добор: n^k, не P, не C, не мультимножество.
Отчёт: «сто двадцать пять слов» без 5 и 3 не проверить.
Стык с P: вычеркните повтор — множители убывают.
Не кладите −1 в n.
Якорь: 125; 1; 0; 100. 0⁰ нельзя.
Приложение: трёхклеточный код из символов +, −: 2³ = 8, как знаки координат октантов — аналогия, не геометрия хаба.
Одинаковая длина пароля с обязательной цифрой — не чистое n^k, вычитайте в тетради.
Повторный расчёт после запрета одной буквы: n уменьшилось.
Контрольная запись: A = n·n·…·n, ровно k множителей, все равны n, не убывают. 5×5×5 = 125. Если хотя бы одно место запрещает уже выбранную букву, множители начинают убывать и это уже размещения без повторений.
Типичные ошибки
- Писать P, когда повтор можно.
- Путать n и k местами: 3⁵ не 5³.
- Ждать 0⁰ = 1.
- Считать неупорядоченные наборы.
- Дробный показатель.
Соседи: размещения без повтора, степень, сочетания, мультимножества, факториал.
Итог добора: число слов длины k в алфавите n, A = n^k, 0⁰ нет, повтор разрешён.
Частые вопросы
- Сколько слов длины 3 из 5 букв, буквы можно повторять?
- A = 5³ = 125.
- Почему 2⁰ = 1?
- Пустое слово над любым непустым алфавитом одно. 0⁵ = 0: букв нет, длину 5 не набрать.
- 0⁰?
- Ошибка. Страница не выбирает соглашение.
- Без повторений букв?
- P(n,k). P(5,3) = 60, не 125.
- Это просто степень?
- Алгебра y = x^n не говорит про кортежи. Здесь n — виды, k — длина.
- Где хаб?
- Комбинаторика.
Источники
- Школьная комбинаторика: P(n,k) = n!/(n−k)!, C(n,k) = n!/(k!(n−k)!), размещения с повторениями n^k, сочетания с повторениями C(n+k−1, k), полиномиальный коэффициент n!/(n₁! n₂! …).