n испытаний, ровно k успехов
Схема Бернулли: n независимых испытаний, в каждом успех с вероятностью p, считаем ровно k успехов. P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ. Раздел: распределения.
Контроль: 5 бросков честной монеты, ровно 2 орла → 10/32. Одно испытание, успех с p = 0,3 → 0,3. Все три успеха при p = 1 → 1. Это не «k/n = 2/5».
n и k целые, 0 ≤ k ≤ n, n до 200. p от 0 до 1.
C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
C(n,k) = n! / (k! (n−k)!). Страница считает в логарифмах, чтобы 50! не взорвал память. Обратного хода «найти n по P» нет: корней много.
Края: p = 0 даёт 1 только при k = 0. p = 1 даёт 1 только при k = n.
Не Пуассон и не k/n без схемы
Не e^{−λ} λᵏ/k!. Не классика k/n равновозможных исходов без Бернулли. Не P(A)P(B) двух событий. Не E(X): среднее бинома np считайте отдельно.
Гипергеометрическое без возвращения — не эта страница.
Как пользоваться
Три входа: n, k, p. Искомое P. Родитель статистика.
Монета, кубик, брак детали — если испытания независимы и p одно, эта формула. Зависимые вытягивания из урны без возвращения — нет.
Примеры
1. Монета. n = 5, k = 2, p = 0,5 → 0,3125.
2. Одно испытание. n = 1, k = 1, p = 0,3 → 0,3.
3. Ноль успехов. n = 4, k = 0, p = 0,25 → 0,75⁴.
4. Достоверный успех. n = k = 3, p = 1 → 1.
5. Запрет. k = 6 при n = 5.
Ещё задачи
Десять выстрелов, p = 0,8, ровно 8 попаданий. Не 0,8⁸: есть C(10,8) и два промаха 0,2².
Контроль: сумма P(X=k) по k от 0 до n равна 1. Для n = 2, p = 0,5: 0,25+0,5+0,25 = 1.
Не подставляйте проценты 80 в p: нужно 0,8. Проценты рядом в арифметике.
Среднее np для n = 5, p = 0,5 равно 2,5, это не P. Ожидание — ряд xᵢ pᵢ или np вручную.
Задача «хотя бы один успех» = 1 − P(X=0) = 1 − (1−p)ⁿ. Страница даёт P(X=0), вычитаете сами.
Большое n = 100, k = 50, p = 0,5 ≈ 0,08. Не считайте 100! на калькуляторе кармана.
Связь с факториалом: C(5,2) = 120/(2·6) = 10. Проверка маленьких n.
Независимые монеты — произведение для конкретной последовательности ОРООО. Бином складывает все последовательности с k орлами.
Лаборатория: 20 деталей, брак 5%, ровно одна бракованная. p = 0,05, n = 20, k = 1.
Не путайте с геометрическим «первый успех на шаге k» — другой закон, не эта страница.
p = 0,5 и k = n/2 при чётном n — мода. Для n = 4, k = 2, P = 6/16 = 0,375, больше чем P(k=1)=4/16.
Четыре варианта теста, наугад n = 10, k = 10, p = 0,25: 0,25¹⁰, крошечное. Не 1/4.
Школа: схема Бернулли
Условия: два исхода, независимость, постоянное p, фиксированное n. Нарушили одно — формула чужая.
Чертёж: n клеток, k крестиков, остальные нолики, каждая клетка p или 1−p, затем умножить на число расстановок C(n,k).
Итог: три числа, одна точка вероятности. Не таблица всей функции F(k).
Хаб распределений отделяет бином от классики k/n в вероятности.
ЕГЭ: «вероятность ровно трёх успехов» — эта страница. «хотя бы трёх» — сумма, не одна точка.
Единицы: p безразмерна. n и k — штуки испытаний, не метры.
Связь с Пуассоном
При n большом, p маленьком, λ = np умеренном бином близок к Пуассону. n = 100, p = 0,03, k = 3 сравнивайте сами, страница предел не включает.
Родитель статистика. Сосед по n! — факториал.
Дисперсия np(1−p) страница не печатает.
Проверка: n = 1 сводится к p или 1−p. Бернулли как частный бином.
Не симметризуйте p и 1−p, переименовав успех: k тогда считает «новый успех». Ответ тот же, если k заменить на n−k и p на 1−p.
Нулевой n: только k = 0, P = 1 при любом p. Странно, но формально пустая серия.
Независимость испытаний — та же идея, что произведение двух событий, только n раз. Конкретная последовательность из k успехов имеет вероятность pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ без C(n,k). Бином умножает на число таких последовательностей.
Контроль n = 5, k = 2, p = 0,5: C = 10, pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ = 1/32, произведение 10/32. Если забыли C, ответ в 10 раз меньше — типичная ошибка бланка.
p меняется от испытания к испытанию — не Бернулли. Тогда ни бином, ни одно p на странице. Не усредняйте разные p «на глаз».
Вытягивание без возвращения ломает постоянство p. Для урны без возвращения нужен другой закон, не эта страница.
Итог журнала: схема Бернулли, целые n и k, одна точка pmf, не сумма «хотя бы», не Пуассон без n, не классика k/n.
Типичные ошибки
- Забыть C(n,k) и оставить одно pᵏ.
- Подставить проценты вместо доли.
- Считать P(X ≤ k) одной точкой.
- k > n.
- Спутать с Пуассоном без n.
Соседи: Пуассон, факториал, классика k/n, ожидание, независимые события.
Частые вопросы
- Какая формула биномиального закона?
- P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ. n = 5, k = 2, p = 1/2 даёт 10/32 = 0,3125.
- k может быть больше n?
- Нет. Страница отвергает. Вероятность невозможного события не считается «нулем в обход ошибки»: сначала исправьте k.
- Это сочетание C(n,k)?
- C(n,k) входит множителем. Одно n! без p не даёт вероятность. Классика исходов — k/n.
- Это Пуассон?
- Пуассон не знает n и p, только λ. Предел бинома при большом n и малом p — соседняя страница, не эта формула.
- Считается P(X ≤ k)?
- Нет. Одна точка pmf. Сумму нескольких k сложите вручную.
- Где хаб?
- Распределения.