Произведение только для независимых
Независимые события: наступление одного не меняет вероятность другого. Тогда P(A∩B) = P(A)·P(B). Тест: 0,5 и 0,4 → 0,2. Хаб: вероятность.
Это не «два любых разных события». Монета и завтрашний дождь могут быть независимы; два шара без возвращения — нет.
P(A∩B) = P(A) · P(B)
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Обратный ход: P(A) или P(B). Ноль второго множителя при делении запрещён.
Не сложение и не условие
Не P(A)+P(B)−P(A∩B). Не P(A|B). Не k/n без модели независимости. n одинаковых независимых испытаний с успехом p — биномиальная точка.
Как пользоваться
Выберите P(A∩B), P(A) или P(B). Числа от 0 до 1. Раздел: вероятность.
Примеры
Прямая. 0,5 и 0,4 → 0,2.
P(A). Пересечение 0,2 при P(B)=0,4 → 0,5.
Запрет. P(B)=0 при поиске P(A).
Ещё задачи
Две честные монеты: 0,5·0,5 = 0,25 оба орла. Не 1.
Кубик 6 и монета: 1/6 · 1/2 = 1/12. Сначала классика k/n, потом произведение, если броски независимы.
Два выключателя подряд в надёжности: 0,99·0,99 ≈ 0,9801 оба целы. Не 1,98.
Шары без возвращения: второй зависим. Не умножайте безусловные доли.
Обратный ход: пересечение 0,12, P(B)=0,4 → P(A)=0,3. Проверьте, что 0,3·0,4=0,12.
Три независимых: страница два множителя. Третий умножьте вручную на результат.
Проценты 50% и 40% введите 0,5 и 0,4, не 50 и 40: поля до 1.
Погода и экзамен: если не доказана независимость, произведение — оценка, не факт.
Лаборатория датчика случайных бит: частота пары 11 должна быть близка к p₁ p₂.
Несовместные A и не-A: P(A∩неA)=0, не P(A)·P(неA), если только одно из них ноль. Противоположные зависимы.
Связь с условием: независимость ⇔ P(A|B)=P(A). Проверьте на соседней странице.
Страховка двух независимых рисков: вероятность обоих — произведение. Или хотя бы одного — сложение.
Игральный автомат два барабана независимы по модели. Реальная механика может коррелировать — страница идеал.
Задача: P(A)=0,2, P(B)=0,5 независимы. Пересечение 0,1, объединение 0,6 на странице сложения с PAB=0,1.
Нулевая вероятность одного множителя даёт нулевое пересечение. Это совместность с невозможным, не ошибка прямой формулы.
Школа: независимость не «два разных события»
Определение независимости: P(A∩B)=P(A)P(B). Страница считает произведение, не проверяет жизнь.
Для трёх событий независимость попарная не равна полной. Страница только пара.
Диаграмма Венна с независимыми не обязана быть «непересекающейся». Пересечение как раз произведение, обычно не ноль.
Не путайте с несовместными: там пересечение ноль, сумма P(A)+P(B) ≤ 1.
Итог: умножать после независимости, делить обратно, ноль знаменателя стопорит.
Чертёж: два прямоугольника 0,5×0,4, площадь 0,2 — геометрическая картинка произведения.
Школа: «два стрелка, попадания независимы 0,8 и 0,7». Оба попали 0,56. Хотя бы один — сложение.
Лабораторный отчёт: таблица сопряжённости, частоты, сравните с произведением маргиналов.
Памятка: независимость — свойство, не «разные буквы». Условие и объединение — другие URL.
Случайный выбор с возвращением ближе к независимости, без возвращения — нет.
Вероятность 0 и 1: 1·p=p, 0·p=0. Крайние случаи формула держит.
Не используйте произведение для «средней вероятности». Среднее — другая страница.
Серия независимых датчиков: вероятность, что все три молчат, — произведение трёх (1−pᵢ). Страница даёт только пару, третий умножайте на ответ.
С возвращением шар красный дважды: n не меняется, можно умножить две одинаковые доли. Без возвращения — нельзя.
Радиоканал и питание независимы в учебной модели. Отказ системы «или» считается сложением, отказ «и» — этой страницей.
Проверка: произведение ≤ каждого множителя. Если калькулятор дал больше — перепутали с суммой.
Случайные биты с корреляцией: частота пары 11 уйдёт от p₁p₂. Страница идеал независимости.
Геометрическая картинка: площадь прямоугольника со сторонами P(A) и P(B) в единичном квадрате.
Не ставьте условные вероятности в оба множителя, если это уже P(A|B) и P(B) — тогда это пересечение по другой формуле.
Итог журнала: умножать после независимости, проценты в доли, шары без возвращения — не сюда.
Ещё про произведение независимых, сюжет 1: учебный стенд с датчиком случайных чисел. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 2: тетрадь с таблицей частот на 200 опытов. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 3: задача из сборника без сюжета казино. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 4: лабораторный журнал пары студентов. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 5: схема дерева исходов на доске. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 6: проверка размерности: вероятность без единиц. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 7: сравнение с соседней формулой вручную. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 8: контрольный пример с нулём и единицей. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 9: перевод процентов в доли до ввода. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 10: запрет подставлять частоты 17 из 80 без деления. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 11: напоминание, что страница не генератор случайных. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 12: проверка неравенств 0 ≤ P ≤ 1 после ответа. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 13: запись ответа обыкновенной дробью рядом с десятичной. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 14: указание, что модель идеальная, без скрытых корреляций. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про произведение независимых, сюжет 15: итог для отчёта: формула, числа, смысл, не совет. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Типичные ошибки
- Сложить вместо умножения
- Проценты 50 вместо 0,5
- Шары без возвращения
- Ноль знаменателя
- Три события одной формулой
Соседи: сложение, условие, дополнение, классика k/n, пропорция
Частые вопросы
- Когда умножать вероятности?
- Если A и B независимы: P(A∩B) = P(A)·P(B).
- Как найти P(A)?
- P(A) = P(A∩B) / P(B). P(B) не ноль.
- Это сложение?
- Нет. Объединение вычитает пересечение.
- Это P(A|B)?
- Нет. Условие делит пересечение на P(B). При независимости P(A|B)=P(A).
- Числа больше 1?
- Поля от 0 до 1. Произведение не больше меньшего множителя.
- Где хаб?
- Вероятность.