Объединение с вычитанием пересечения
Или-событие: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B). Тест: 0,3 + 0,4 − 0,1 = 0,6. Хаб: вероятность.
Без вычитания пересечение посчитают дважды. Несовместные: пересечение 0, сумма 0,2+0,3=0,5.
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Обратный ход к любому из четырёх. Согласуйте, чтобы все остались в [0, 1].
Не произведение независимых
Не P(A)P(B) вместо пересечения, если независимость не дана. Не 1−P одного события.
Как пользоваться
Четыре поля: объединение, P(A), P(B), пересечение. Раздел: вероятность.
Примеры
Прямая. 0,3, 0,4, пересечение 0,1 → 0,6.
Несовместные. 0,2 и 0,3, пересечение 0 → 0,5.
Пересечение. Объединение 0,6 при 0,3 и 0,4 → 0,1.
Ещё задачи
Хотя бы одна шестёрка на двух кубиках: не 1/6+1/6. Пересечение 1/36, объединение 11/36.
Болезнь или ложный тест: сложение без модели пересечения бессмысленно.
Два несовместных исхода кубика 1 и 2: 1/6+1/6=1/3, пересечение 0.
Независимые 0,2 и 0,5: сначала пересечение 0,1, потом объединение 0,6. Две страницы.
Обратный ход: объединение 0,7, P(A)=0,5, P(B)=0,4 → пересечение 0,2.
Если P(A)+P(B) меньше P(A∪B), числа с разных задач.
Три события: включение-исключение длиннее, страница только два.
Проценты снова в долях 0…1.
Лаборатория: доля «A или B» в таблице частот против суммы маргиналов минус клетка пересечения.
Страховка: выплата если риск A или B. Нужно пересечение обоих.
Не ставьте P(A|B) в поле пересечения.
Дополнение объединения: 1 − P(A∪B) на странице 1−P после этой.
Задача ЕГЭ: P(A)=0,6, P(B)=0,3, независимы. Пересечение 0,18, объединение 0,72.
Максимум объединения min(1, P(A)+P(B)). Минимум max(P(A),P(B)). Проверка согласованности.
Нулевое объединение требует оба нуля. Ненулевое пересечение при нулевом объединении невозможно.
Школа: почему без пересечения сумма врёт
Диаграмма Венна: две доли плюс, линза минус один раз.
Несовместность ⇒ пересечение пусто ⇒ сумма. Независимость ⇒ пересечение произведение, не ноль.
Итог: всегда минус пересечение, ноль если несовместны.
Чертёж двух кругов. Подпишите три области.
Школа путает «или» с «исключающим или». Исключающее: P(A)+P(B)−2P(A∩B). Страница обычное или.
Лабораторный отчёт: частоты n(A∪B)/N.
Памятка: умножение — другая страница; 1−P — третья; k/n — четвёртая.
Аксиома счётной аддитивности для несовместных. Для совместных нужна эта поправка.
Не используйте для трёх кругов одной строкой.
Проверка: объединение ≥ каждого и ≤ 1.
Связь с условием: P(A∩B)=P(A|B)P(B). Можно собрать пересечение с соседней страницы.
Итоговая памятка: плюс, плюс, минус пересечение.
Хотя бы одна ошибка в двух независимых тестах с p=0,1: пересечение 0,01, объединение 0,19, не 0,2.
Несовместные цвета светофора: красный или зелёный без жёлтого как третьего — сумма двух, если третье отдельно, пересечение ноль.
Максимум объединения min(1, сумма). Если ввели 0,8 и 0,9 с пересечением 0, получите 1,7 — числа несогласованы, даже если поля приняли.
Исключающее «ровно одно из двух»: P(A)+P(B)−2P(A∩B). Страница считает обычное «хотя бы одно».
Таблица 2×2: сумма двух краёв минус клетка «оба». Так проверяют частоты.
Страховой случай «пожар или затопление»: без оценки пересечения премия по сумме завышена.
Связь с дополнением: ни A ни B = 1 − объединение. Для независимых это P(неA)P(неB).
Итог журнала: плюс плюс минус линза, несовместные — минус ноль, три круга — не сюда.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 1: учебный стенд с датчиком случайных чисел. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 2: тетрадь с таблицей частот на 200 опытов. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 3: задача из сборника без сюжета казино. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 4: лабораторный журнал пары студентов. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 5: схема дерева исходов на доске. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 6: проверка размерности: вероятность без единиц. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 7: сравнение с соседней формулой вручную. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 8: контрольный пример с нулём и единицей. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 9: перевод процентов в доли до ввода. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 10: запрет подставлять частоты 17 из 80 без деления. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 11: напоминание, что страница не генератор случайных. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 12: проверка неравенств 0 ≤ P ≤ 1 после ответа. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 13: запись ответа обыкновенной дробью рядом с десятичной. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 14: указание, что модель идеальная, без скрытых корреляций. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про объединение с пересечением, сюжет 15: итог для отчёта: формула, числа, смысл, не совет. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Типичные ошибки
- Забыть вычесть пересечение
- Спутать с произведением
- Три события
- Доли как проценты 30
- Несовместность без нуля пересечения
Соседи: произведение независимых, дополнение, условие, классика, проценты
Частые вопросы
- Какая формула «A или B»?
- P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
- Если события несовместны?
- Пересечение ноль, остаётся сумма P(A)+P(B).
- Это независимость?
- Нет. Произведение — про пересечение независимых.
- Как найти пересечение?
- P(A∩B) = P(A)+P(B)−P(A∪B).
- Можно ли получить больше 1?
- При согласованных входах нет. Если сумма без вычитания >1, пересечение обязано быть.
- Где хаб?
- Вероятность.