Выборка без возвращения
В совокупности N объектов из них K меченых. Берут сразу n штук (или по одному без возвращения — то же). Спрашивают вероятность, что среди взятых окажется ровно k меченых. Раздел: распределения.
Контроль: N = 10, K = 5, n = 3, k = 1 → C(5,1)·C(5,2)/C(10,3) = 50/120 = 5/12. Все меченые: N = K = 10, n = k = 3 → 1. Пустая меченность K = 0 и k = 0 → 1.
Целые: 0 ≤ k ≤ n ≤ N, k ≤ K, n−k ≤ N−K. N до 200. Страница считает в логарифмах сочетаний, отдельного калькулятора C(n,k) нет.
C(K,k) C(N−K, n−k) / C(N,n)
P(X=k) = C(K,k) · C(N−K, n−k) / C(N,n)
Числитель: способы выбрать k меченых из K и оставшиеся n−k немеченых из N−K. Знаменатель: способы выбрать любые n из N. Это не один n! без трёх сочетаний.
Обратного хода «найти N по P» нет: уравнение комбинаторное.
Не бином с постоянным p
Не C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ: там p не меняется. Не готовое k/n без урны. Не ждать первый успех в бесконечной серии. Не произведение зависимых вытягиваний как независимых.
При N ≫ n доля почти не меняется, бином с p = K/N близкий сосед, не тождество. Сравните сами на двух страницах.
Как пользоваться
Четыре целых и искомое P. Родитель статистика.
Меченые — «успех» в урне: бракованные детали, красные шары, нужные карты. Не путайте K совокупности с k выборки.
Примеры
1. Учебный. 10, 5, 3, 1 → 5/12.
2. Оба меченых. 5 шаров, 2 меченых, берём 2, k = 2 → 0,1.
3. Все меченые в урне. N = K = 10, n = k = 3 → 1.
4. Нет меченых. K = 0, k = 0, любые n ≤ N → 1.
5. Запрет. k = 4 при K = 3; n = 9 при N = 8.
Ещё задачи
Колода 52, 4 туза, 5 карт, ровно 2 туза: C(4,2)C(48,3)/C(52,5). Не (4/52)²: без возвращения и без порядка.
Партия 20 деталей, 3 бракованные, контроль 4 штуки, ровно один брак. Не берите бином с p = 3/20, если партия маленькая.
Связь с классикой: если спрашивают «первая карта туз», это 4/52 = k/n одного извлечения, не гипергеометрия выборки пяти карт.
Порядок внутри выборки не важен: сочетания, не размещения. Не умножайте ещё на n!.
Лаборатория: мешок с цветными фишками, тяните n сразу, сравните частоту k с формулой. Возвращать фишки после каждой попытки серии — уже другая модель, ближе к биному.
Большие N: N = 200, K = 80, n = 10, k = 4 — страница посчитает. Карманный 200! не пишите.
Немеченых не хватает: n = 8, K = 7, N = 10, k = 0 требует 8 немеченых, а их только 3. Ошибка, не ноль «на всякий случай» без проверки.
Единицы: все четыре — штуки объектов. Не вероятности в полях N, K, n, k.
Две урны — не одна формула. Смешайте вручную, страница одной совокупности.
Факториал проверяет маленькие C: C(5,2) = 10. Внутри формулы три таких числа.
Связь с независимостью: последовательные вытягивания зависимы. Произведение p меняющихся долей даст тот же ответ, что сочетания, если учесть порядок и потом сократить. Страница сразу сочетаниями.
Проверка: сумма P(X=k) по допустимым k равна 1. Страница одну точку.
Школа: урна
Чертёж: большой круг N, закрасьте K, вынесите маленькую корзину n, в ней k закрашенных.
Памятка: три сочетания, не одно. Знаменатель — все выборки, числитель — благоприятные состава.
ЕГЭ: «без возвращения», «из партии берут n» — эта страница. «каждый раз кладут обратно» — бином.
Хаб распределений ставит урну рядом с Бернулли, чтобы не склеить.
Итог: четыре целых, одна вероятность. Не pᵏ, не k/n без урны.
Не пишите C(n,k) в числителе одном: нужно ещё немеченых и знаменатель C(N,n).
Среднее nK/N
Ожидаемое число меченых в выборке — n · (K/N). Для 10, 5, 3 среднее 1,5. Это не P(X=1) = 5/12.
Родитель статистика. Табличное E(X) здесь не нужно, если помните nK/N.
Дисперсия меньше биномиальной при тех же n и p = K/N: поправка конечной совокупности. Страница дисперсию не печатает.
Связь с биномом: подставьте p = K/N на странице бинома и сравните P(X=k). При N = 10, n = 3 разница заметна; при N = 1000 — почти нет.
Контроль крайностей: K = 0 или K = N даёт вырожденный закон, среднее 0 или n.
Не читайте среднее как обязательное k в каждой выборке. 1,5 меченых — среднее многих выборок, не «полтора шара в мешке».
Итог журнала: без возвращения, три сочетания, k не больше K, n не больше N, не бином, не одно k/n.
Карты, брак, экология «меченых рыб в озере» — учебные сюжеты одной формулы. Оценка K по пойманным — уже другая задача, не эта точка pmf.
Проверка туда: 10, 5, 3, 1 → 5/12 ≈ 0,4167.
Последовательная запись: P(первый меченый)·P(второй немеченый|…)·… и сумма по порядкам. Длиннее, ответ тот же.
Не ставьте доли 0,5 в поле K. K — штуки, 5 из 10, не вероятность.
Связь с геометрическим: тот бесконечная серия с возвращением по смыслу независимости. Урна конечная — эта страница.
Типичные ошибки
- Подставить бином с p = K/N без оговорки.
- k > K или n > N.
- Одно C(n,k) вместо трёх.
- Положить вероятности в поля штук.
- Спутать с k/n одного извлечения.
Соседи: бином, классика k/n, факториал, ожидание, геометрический закон.
Частые вопросы
- Какая формула гипергеометрического закона?
- P(X=k) = C(K,k) C(N−K, n−k) / C(N,n). Из 10 шаров 5 меченых, берём 3, ровно 1 меченый: 5/12.
- Почему не бином?
- Бином держит p постоянным: с возвращением или огромная совокупность. Без возвращения доля меченых меняется после каждого шара.
- k больше K?
- Невозможно вынуть меченых больше, чем их есть. Страница отвергает, не печатает ноль в обход ошибки ввода.
- n больше N?
- Нельзя взять из урны больше шаров, чем в ней лежит. Тоже ошибка.
- Это классика k/n?
- k/n — одно отношение уже посчитанных исходов. Здесь четыре параметра урны и сочетания внутри формулы.
- Где хаб?
- Распределения.