Первый успех на попытке k
Независимые испытания Бернулли с постоянным p. Спрашивают: на какой попытке впервые случится успех. Вероятность, что это попытка номер k, равна (1−p)^{k−1} p: сначала k−1 неудач, затем успех. Раздел: распределения.
Контроль: p = 1/2, k = 1 → 0,5. k = 2 → 0,25. p = 0,2, k = 3 → 0,2 · 0,8² = 0,128. Достоверный успех p = 1 бывает только на первой попытке: P(X=1) = 1.
k целое от 1 до 500. p от 0 до 1. Обратного хода «найти k по P» нет: при одном P корней по k может не быть целым.
(1−p)^{k−1} p
P(X=k) = (1−p)^{k−1} · p
При k = 1 степень нулевая: (1−p)⁰ = 1, остаётся одно p. При p = 1 и k > 1 ответ 0: после гарантированного первого успеха серии уже нет.
Это не C(n,k)pᵏ: здесь нет заранее выбранного n и нет сочетаний расстановок нескольких успехов.
Не бином и не длины на отрезке
Не фиксированное n испытаний. Не мера отрезка ℓ/L. Не счётчик Пуассона с λ. Не k/n одного броска без серии.
Непрерывный сосед по ожиданию — показательная плотность времени, не номер попытки.
Как пользоваться
Два входа: k и p. Искомое P. Родитель статистика.
p — вероятность успеха в одном испытании, не «вероятность, что когда-нибудь повезёт». Проценты 30 в поле p не кладите: нужно 0,3.
Примеры
1. Сразу. p = 0,5, k = 1 → 0,5.
2. Со второй. та же монета, k = 2 → 0,25.
3. Редкий успех. p = 0,2, k = 3 → 0,128.
4. Достоверно. p = 1, k = 1 → 1.
5. Запрет. k = 0.
Ещё задачи
Четыре варианта теста, наугад, первый верный ответ на третьем вопросе: p = 0,25, k = 3 → 0,75² · 0,25 = 0,140625. Не 1/3.
«Хотя бы к третьей попытке»: 1 − (1−p)³. Страница даёт точки, сумму или дополнение считаете сами.
Память: после серии неудач вероятность успеха на следующем шаге всё ещё p. Это дискретная «без памяти». Не повышайте p «за выстраданное».
Связь с произведением: конкретная цепочка ННУспех есть (1−p)(1−p)p. Геометрический закон — как раз эта одна цепочка, без умножения на C(n,k).
Не путайте с биномом n = k, «ровно один успех»: там успех может стоять не последним. Бином C(k,1)p(1−p)^{k−1} в k раз больше, если успех не обязан быть последним.
Большое k при малом p: p = 0,01, k = 100 → 0,99⁹⁹ · 0,01, уже малое, но не ноль.
Лаборатория: генератор Бернулли, остановитесь на первом успехе, сравните частоту k = 1,2,3 с формулой. Это не полка на отрезке.
Единицы: k — штуки попыток, p безразмерна. Не метры и не минуты: время — соседняя показательная страница.
Две независимые геометрические величины — не эта формула суммы.
p = 0: успеха нет никогда. Для k ≥ 1 ответ 0. Страница примет p = 0, смысл «никогда» оставьте в тексте задачи.
Проверка суммы pmf: Σ (1−p)^{k−1} p по k = 1…∞ равна 1 при 0 < p ≤ 1.
Школа: ждать первый орёл
Чертёж: цепочка клеток, в последних — успех, до него только неудачи. Подпись (1−p) на неудачах, p на последней.
Памятка: степень на единицу меньше номера попытки. Забыть «минус один» — главная ошибка бланка.
ЕГЭ: «первый раз выпало на четвёртом броске» — эта страница. «ровно четыре орла из десяти» — бином.
Хаб распределений отделяет геометрический закон от геометрии отрезка нарочно: разные формулы, общее слово.
Итог: два числа, одна вероятность точки. Не функция распределения, не длины, не бином с n.
Не пишите P = p^k: это k успехов подряд без неудач в конце как обязательного первого.
Среднее 1/p
Ожидаемый номер первого успеха равен 1/p. При p = 0,5 ждут в среднем две попытки. Страница среднее не печатает отдельным полем: это не P(X=k).
Родитель статистика. Общее дискретное E(X) требует таблицу; здесь закон известен, среднее 1/p вручную.
Дисперсия (1−p)/p² страница не считает.
Связь с Пуассоном слабая: тот считает события за интервал, этот — номер попытки.
Показательное непрерывное среднее 1/λ — аналог 1/p, если мыслить интенсивность. Не подставляйте λ вместо p без модели времени.
Контроль: p = 0,2, среднее 5 попыток. P(X=5) = 0,8⁴ · 0,2 = 0,08192, не 1 и не 0,2.
Не читайте среднее как «самый вероятный k». Мода при любом p — k = 1: первый успех сразу вероятнее любого конкретного позднего.
Итог журнала: k ≥ 1, неудачи потом успех, не бином, не ℓ/L, не нулевой номер попытки.
Сравнение с гипергеометрическим: урна без возвращения ломает постоянное p. Тогда другая страница, не геометрический закон.
Серия до r успехов — отрицательное биномиальное, не эта точка одного успеха.
Проверка туда: k = 1 всегда даёт p. Если калькулятор выдал другое — перепутали поля.
Не ставьте k дробным: «полторы попытки» модель не знает.
Связь с дополнением: P(X > k) = (1−p)^k — вероятность, что первые k попыток сплошь неудачи.
Школьный кубик, ждать шестёрку: p = 1/6, k = 6 → (5/6)⁵ · (1/6). Не 1/6 в шестой степени без пятёрок.
Типичные ошибки
- Забыть степень k−1.
- Поставить k = 0.
- Спутать с биномом и C(n,k).
- Спутать с ℓ/L на отрезке.
- Подставить проценты в p.
Соседи: бином, произведение независимых, Пуассон, классика k/n, ожидание.
Частые вопросы
- Какая формула геометрического закона?
- P(X=k) = (1−p)^{k−1} p. Честная монета, первый орёл на втором броске: 0,5 · 0,5 = 0,25. На первом броске: p = 0,5.
- k может быть нулём?
- Нет. k — номер попытки первого успеха, целое ≥ 1. Нуль страница отвергает. Другая нумерация «число неудач до успеха» начинается с нуля — не эта страница.
- Это биномиальное?
- Бином фиксирует n и считает ровно k успехов. Здесь n не задано: серия идёт, пока не случится первый успех.
- Это геометрическая вероятность на отрезке?
- Нет. ℓ/L — доля длины. Здесь дискретная серия испытаний. Совпадает только слово «геометрическая».
- Считается P(X ≤ k)?
- Нет. Одна точка pmf. «Не позже k» = 1 − (1−p)^k, считайте вручную.
- Где хаб?
- Распределения.