Точка на отрезке: отношение длин
Геометрическая вероятность на прямой: точка «бросается» равномерно на отрезок длины L, благоприятный кусок имеет длину ℓ, тогда P = ℓ / L. Тест: 3 м из 10 м дают 0,3. Хаб: вероятность.
Исходов бесконечно много, считать штуки нельзя. Мера — длина. Нулевая общая длина запрещена.
P = ℓ / L
P = ℓ / L
Обратный ход: ℓ = P·L или L = ℓ/P. Согласуйте единицы: сантиметры с сантиметрами, не смешивайте с штуками исходов.
Не классика k/n и не игла Бюффона
Не P = k/n для граней кубика. Не 1 − P вместо отношения, пока не посчитали само P. Не площадь круга: страница только отрезок.
Как пользоваться
Три поля: вероятность, благоприятная длина, длина отрезка. Раздел: вероятность.
Примеры
Прямая. ℓ = 3 м, L = 10 м → P = 0,3.
Обратно ℓ. P = 0,3 и L = 10 м → 3 м.
Нуль. ℓ = 0 при L = 5 м → P = 0.
Запрет. L = 0.
Ещё задачи
Автобус ходит каждые 12 минут, вы приходите наугад. Ждать не больше 3 минут: ℓ = 3, L = 12, P = 0,25. Это не расписание рейсов, а равномерный приход на интервал.
Стержень 80 см ломают в случайной точке. Обломок длиннее 50 см: благоприятны две крайние зоны по 30 см, ℓ = 60, L = 80, P = 0,75. Середина 20 см даёт оба куска короче 50.
Встреча двух людей на отрезке времени 60 минут с ожиданием 15 минут — задача на квадрате, не на этой странице. Здесь только одна длина.
Точка на [0; 1]. Попасть в [0,2; 0,5]: ℓ = 0,3, L = 1, P = 0,3.
Дополнение: не попасть в кусок ℓ значит 1 − ℓ/L. Сначала эта страница, потом дополнение.
Переведите 30 см из 2 м: 0,3 м / 2 м = 0,15. Смешение см и м без перевода ломает ответ.
Обратный ход: нужно P = 0,4 на мосту 250 м → благоприятный участок 100 м.
Лаборатория: линейка, закройте часть ленты, доля закрытого к полной длине — оценка P, не частота бросков кубика.
Не ставьте число граней вместо метров. Кубик — соседняя классика.
Проценты: 20% длины это P = 0,2, не 20 в поле вероятности.
Нулевая благоприятная длина законна: попадание в точку на непрерывном отрезке имеет вероятность 0.
Вся длина благоприятна: ℓ = L, P = 1.
Связь с пропорцией: ℓ/L = P/1. Можно проверить крестом, смысл другой — мера события.
Связь с отношением: ℓ : L это не P. P — уже нормированная доля.
Итог практики: две длины, одна доля, единицы одинаковые, L не ноль.
Школа: мера вместо счёта исходов
Классическое определение требует конечного числа равновозможных элементарных исходов. На отрезке их несчётно. Школа заменяет счёт мерой: длиной на прямой, площадью на плоскости, объёмом в пространстве. Эта страница — только длина.
Равномерность: плотность постоянна вдоль отрезка. Саму константу 1/(b−a) считает равномерная плотность. Если точка чаще падает к одному концу, отношение длин врёт.
Чертёж: отрезок AB длины L, закрасьте дугу или подотрезок длины ℓ. Подпишите P = ℓ/L. Не рисуйте кубик.
Игла Бюффона считает пересечение иглы с параллелями и выводит π. Там фигурируют длина иглы и шаг решётки, но событие — пересечение, не «точка внутри подотрезка». Не подставляйте те числа сюда.
Задача «случайный приход на остановку» сводится к отрезку между рейсами. Время играет роль длины. Поля принимают метры, минуты тоже длины в модели, если обе величины в одном масштабе: 3 мин / 12 мин.
Ломание стержня: точка излома равномерна. Событие «оба куска длиннее a» занимает внутренний интервал, не два края. Сначала найдите геометрию благоприятного множества, потом одну дробь.
Попадание ровно в точку: длина нуль, вероятность нуль. Это не «невозможно в быту», а свойство непрерывной модели. Калькулятор при ℓ = 0 даёт P = 0.
Неравенство ℓ больше L даёт P больше 1 — модель сломана, пересчитайте благоприятный кусок. Страница может принять числа, смысл вероятности нет.
Связь с процентами: доля длины в процентах = 100P. Поле P ждёт 0…1.
Площадь круга на квадратном листе — геометрическая вероятность на плоскости. Не сводите к ℓ/L, пока не спроецировали на одну ось.
Лабораторный отчёт: измерьте ленту линейкой, закройте интервал, сравните долю с частотой случайных тычков карандашом. Расхождение — оценка равномерности, не ошибка формулы.
Памятка соседей: штуки исходов — k/n; «не попали» — 1 − P; независимые точки на двух отрезках — уже произведение, другая страница.
Обратный ход к L полезен, когда известна доля и длина цели, а полный интервал неизвестен: «благоприятно 40 м при P = 0,2» → L = 200 м.
Не используйте для котировок, ставок и медицинских тестов. Только учебная мера на отрезке.
Проверка размерности: длина на длину, вероятность без единиц. Если в ответе остались метры — перепутали искомое.
Два непересекающихся куска: сложите их длины в одно ℓ, не вызывайте сложение вероятностей с пересечением, пока не перешли к событиям A и B на одном отрезке через доли.
Перекрывающиеся зоны: объединение длин не есть сумма, если куски пересекаются. Вычтите перекрытие вручную, сюда уже готовое ℓ.
Школьная формулировка: «точка наудачу на отрезке». Слова «наудачу» здесь значат равномерность, не «как получится в жизни с ветром».
Сравнение с ожиданием: для индикатора попадания E = P = ℓ/L. Дискретное E(X) — другая страница со штучными исходами.
Запрет нуля L: пустой отрезок не несёт равномерной меры. Калькулятор отклоняет деление на ноль.
Единицы: 300 мм и 1 м → 0,3 м / 1 м. Переведите до ввода или выберите одни единицы в обоих полях длины.
Контрольный край: ℓ = L → достоверно. ℓ = 0 → невозможно в непрерывной модели. Промежуток — доля.
Не путайте с геометрическим законом «первый успех на шаге k». Там дискретная формула (1−p)^{k−1} p, не отношение длин. Название «геометрическая» здесь про геометрию отрезка.
Итог журнала: равномерная точка, мера длина, дробь ℓ/L, не k/n, не игла, не площадь, единицы согласованы.
Ещё сюжет линейки: школьный стенд с натянутой нитью и цветной меткой. Считают долю цветного участка, не число узлов ткани.
Ещё сюжет расписания: интервал между электричками 20 минут, успеть за 5 минут до отправления. P = 5/20 = 0,25 при равномерном приходе.
Ещё сюжет стержня: случайный распил доски 2,4 м, нужен обрезок ровно не короче 0,4 м с каждого края как запретная зона — сначала чертёж, потом одно отношение.
Ещё сюжет перевода: 45 см благоприятны на шестифутовом отрезке. Переведите футы в метры или сантиметры, не делите 45 на 6.
Ещё сюжет нуля: «попасть точно на отметку 12 см» имеет ℓ = 0. Частота в серии тычков может быть малой, но модель даёт строго ноль.
Ещё сюжет дополнения: закрашен 2 м из 8 м. Незакрашенное 6/8 = 0,75 считается либо как другое ℓ, либо как 1 − 0,25 на странице дополнения.
Ещё сюжет ошибки единиц: ввели 3 и 10, думая про 3 см и 10 м. Получите 0,3 вместо 0,003. Формула верна, ввод нет.
Ещё сюжет проверки: если калькулятор дал P больше 1, благоприятная длина больше отрезка. Перерисуйте множество.
Ещё сюжет связи с процентами: «тридцать процентов отрезка» — это P = 0,3, ℓ = 0,3 L. Не пишите 30 в поле P.
Ещё сюжет отчёта: формула, две длины, одинаковые единицы, ответ без метров, указание что модель равномерная, не совет ждать автобус.
Типичные ошибки
- Считать штуки исходов вместо длин
- Смешать сантиметры и метры
- Подставить иглу Бюффона
- Ноль общей длины
- Проценты 30 вместо 0,3
Соседи: классика k/n, дополнение, пропорция, отношение, проценты
Частые вопросы
- Какая формула геометрической вероятности на отрезке?
- P = ℓ / L: благоприятная длина к длине всего отрезка. L не ноль.
- 3 м из 10 м?
- P = 0,3. Единицы длин должны совпадать.
- Это то же, что k/n?
- Нет. Классика k/n считает штуки равновозможных исходов. Здесь непрерывная мера длин.
- Игла Бюффона?
- Нет. Игла на плоскости с параллелями — другая геометрическая модель, здесь только отношение двух длин.
- Обратный ход?
- Известны P и L → ℓ = P·L. Известны ℓ и P → L = ℓ/P. Ноль знаменателя запрещён.
- Где хаб?
- Вероятность.