Постоянная плотность на отрезке
Непрерывный равномерный закон U(a,b): все точки отрезка «одинаково правдоподобны» в смысле постоянной плотности 1/(b−a). Снаружи плотность ноль. Раздел: распределения.
Контроль: [0; 2], x = 1 → 0,5. Тот же отрезок, x = 3 → 0. Концы входят: x = 0 даёт 0,5. Это не «вероятность точки 0,5» — у непрерывного закона P(X=x) = 0.
Нужно b > a. x любое число: внутри или снаружи.
1/(b−a) внутри, 0 снаружи
f(x) = 1/(b−a) на [a; b], иначе 0
Площадь прямоугольника высоты 1/(b−a) и ширины b−a равна 1. Обратный ход b из высоты f и левого a, если x ещё на отрезке.
Плотность не вероятность. Интеграл по куску [c; d] внутри [a; b] равен (d−c)/(b−a) — это уже доля длины.
Не k/n и не длины без плотности
Не классика k/n. Не ℓ/L как замена f(x). Не колокол: там горб, здесь полка. Не бином.
Дискретное равномерное на {1,…,n} — 1/n в точках, не эта непрерывная полка.
Как пользоваться
Прямой ход: a, b, x → f. Обратный b: a, f, x. Родитель статистика.
Генератор «случайное от 0 до 1» — a = 0, b = 1, плотность 1 на единичном отрезке.
Примеры
1. Середина. [0; 2], x = 1 → 0,5.
2. Снаружи. x = 3 → 0.
3. Конец. x = 0 на [0; 2] → 0,5.
4. Обратный b. a = 1, f = 0,5, x = 1,2 → b = 3.
5. Запрет. a = b.
Ещё задачи
Ожидание автобуса от 0 до 10 минут, плотность 0,1. P(ждать < 3) = 0,3 — интеграл, не f(3)=0,1 как «30%». f(3)=0,1 — высота.
Случайная точка на [0; 1], плотность 1. Не 50% в каждой точке.
x левее a: ноль, не «продолжить полку». Равномерный закон не живёт вне отрезка.
Обратный ход: если x не попал бы на [a; a+1/f], страница стопорит. Нельзя восстановить b, когда точка снаружи модели.
Связь с ℓ/L: событие «точка в подотрезке» имеет вероятность длины. Плотность — производная этой вероятности.
Не ставьте a > b: переверните концы, не ждите модуля.
Единицы a, b, x одни и те же. f имеет единицу 1/единица x. Страница безразмерна учебно.
Лаборатория: датчик [2; 5], высота 1/3. Гистограмма большой выборки должна сесть на полку 1/3, не на колокол.
Смесь двух отрезков — не один U(a,b).
Дискретное E(X) не заменяет (a+b)/2.
b − a = 4, высота 0,25. Проверка площади 1.
Не путайте с четырьмя равновозможными исходами кубика: там 1/6 в точках 1…6.
Школа: прямоугольник
График плотности — прямоугольник на [a; b]. Высота такая, чтобы площадь была 1.
Памятка: внутри 1/(b−a), снаружи ноль. Концы можно включать, на вероятность куска это не влияет.
Чертёж: ось x, полка, подпись высоты.
Итог: три числа на вход для f. Не вероятность события без интегрирования.
Хаб распределений отделяет плотность от доли длины.
ЕГЭ: «плотность на [1; 4]» → 1/3, не 1/4 и не 3.
Не пишите f = b − a.
Среднее (a+b)/2
Центр отрезка. Дисперсия (b−a)²/12. Страница их не считает, только f(x).
Родитель статистика. Выборочное среднее ряда — другое.
Связь с Гауссом: равномерный не колокол, хвостов нет.
Проверка туда-обратно: [0; 2] высота 0,5, x внутри.
CDF F(x) = 0 / (x−a)/(b−a) / 1 слева-внутри-справа. Не поле страницы.
Нулевая высота не бывает при b > a.
Событие «попасть в [c; d]»: если кусок внутри [a; b], вероятность (длина куска)/(b−a). Это уже не f, а интеграл полки. Считать его удобно на странице ℓ/L, подставив ℓ = d−c и L = b−a.
Точка ровно a или ровно b: плотность та же, вероятность всё равно ноль. Включать или исключать конец в учебной непрерывной модели не меняет P.
Обратный ход к b при x снаружи будущей полки бессмыслен: модель говорит f = 0, высоту 1/(b−a) из нуля не восстановить. Страница стопорит, и это правильно.
Не рисуйте колокол «для красоты» на равномерных данных. Полка плоская. Если гистограмма горбатая — закон другой, смотрите Гаусса.
Датчик «случайное целое от 1 до 6» — дискретное, не U(1,6) непрерывное. Непрерывный U(1,6) имеет плотность 1/5 и ненулевую массу между 3 и 3,2, чего у кубика нет.
Итог журнала: три числа для высоты, полка на [a; b], ноль снаружи, площадь 1, не k/n, не вероятность точки.
Пример отрезка [−1; 1]: длина 2, высота 0,5. Середина x = 0 даёт 0,5, не «вероятность нуля». Снаружи x = 2 даёт 0.
Связь с ожиданием: среднее (a+b)/2 можно проверить как центр масс полки. Это не сумма xᵢ pᵢ по штучным исходам.
Типичные ошибки
- Назвать f(x) вероятностью точки.
- a = b.
- Спутать с k/n.
- Продолжить полку за концы.
- Перепутать высоту и долю длины события.
Соседи: геометрическая вероятность длин, классика k/n, плотность Гаусса, ожидание, бином.
Частые вопросы
- Какая плотность равномерного закона?
- На [a; b] f(x) = 1/(b−a), вне отрезка 0. a = 0, b = 2, x = 1 даёт 0,5. x = 3 даёт 0.
- Как найти правый конец?
- b = a + 1/f, если x лежит на будущем отрезке и f > 0. Это высота прямоугольника, не вероятность точки.
- Это классика k/n?
- k/n — дискретные равновозможные исходы. Здесь непрерывный отрезок и плотность.
- Это геометрическая вероятность длин?
- ℓ/L — доля длины, уже вероятность события. Здесь f(x), не P(A).
- b = a?
- Запрещено. Нулевая длина, плотности нет.
- Где хаб?
- Распределения.