Высота колокола в точке x
Нормальный закон N(μ, σ²) имеет плотность Гаусса. В среднем высота максимальна, в хвостах падает. Раздел: распределения.
Контроль: μ = 0, σ = 1, x = 0 → 1/√(2π) ≈ 0,3989. σ = 2 в среднем → вдвое ниже, 0,1995. x = 1 при N(0,1) → ≈ 0,2420. Это не Φ(0)=0,5.
σ строго больше нуля. x и μ любые.
1/(σ√(2π)) exp(−(x−μ)²/(2σ²))
f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(−(x−μ)² / (2σ²))
Показатель — минус половина квадрата z-оценки. Обратный x берёт неотрицательный корень: точка справа от μ. Слева та же высота.
Если f больше максимума 1/(σ√(2π)), логарифм отрицательного — ошибка.
Не Φ(z) и не вероятность точки
Не площадь Φ. Не само z без экспоненты. Не полка 1/(b−a). Не СКО выборки как ответ вместо f.
P(a < X < b) через Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ), не через одно f.
Как пользоваться
Четыре поля: f, x, μ, σ. Родитель статистика.
Сырые единицы x и μ одни. σ в тех же единицах. f — 1/единица x.
Примеры
1. Стандартный пик. 0, 0, 1 → ≈ 0,3989.
2. Шире. x = μ = 10, σ = 2 → ≈ 0,1995.
3. Обратный пик. f пика, μ = 0, σ = 1 → x = 0.
4. z = 1. N(0,1), x = 1 → ≈ 0,2420.
5. Запрет. σ = 0.
Ещё задачи
IQ N(100, 15), высота в 100: 1/(15√(2π)) ≈ 0,0266. Не 0,3989: σ не 1.
Сравните Φ и f: площадь слева от 0 равна 0,5, высота 0,40. Разные вопросы.
Две точки ±σ от центра имеют одинаковую f. Обратный ход отдаёт только плюс.
Не называйте f(100) «вероятностью IQ = 100». Она ноль как точка.
Связь с z: f(x) = φ(z)/σ, где φ — плотность N(0,1). Страница считает сразу в сырых x.
Большое σ размазывает колокол, пик падает. Малое σ — узкий высокий пик.
Лаборатория: гистограмма большой нормальной выборки приближает эту кривую, не Φ.
Выборочное среднее и СКО можно подставить как μ и σ оценки, это уже не генеральный закон, а картинка.
Не путайте с столбиками Пуассона: те дискретные.
x далеко: z = 4, f крошечная, не ноль в печати.
Проверка: интеграл всей плотности 1 страница не считает, доверяйте нормировке формулы.
Смесь двух нормальных — сумма двух колоколов, не одно f.
Школа: колокол Гаусса
График симметричен относительно μ. Перегибы около μ±σ.
Памятка: префактор 1/(σ√(2π)), экспонента с минусом квадрата. Не забыть σ в знаменателе префактора.
Чертёж: колокол, подпись μ, σ, высота в вершине.
Итог: высота, не площадь. Площадь — Φ после стандартизации.
Хаб распределений держит плотность отдельно от таблицы Φ.
ЕГЭ редко просит саму f(x), чаще площади. Если просят «значение плотности» — эта страница.
π в формуле — константа 3,141…, не переменная.
Связь с Φ и z
z = (x−μ)/σ на странице z. φ(z) = f при μ=0, σ=1. Φ — интеграл φ.
Родитель статистика. Равномерная полка — сосед без горба.
Проверка туда-обратно на пике: x = μ.
Ветвь минус: x = μ − σ √(…). Страница плюс, как расстояние 2d.
Не подставляйте Φ в поле f.
Квантиль 0,975 даёт z≈1,96, затем x = μ+1,96σ — это не плотность, а обратная Φ плюс масштаб.
Префактор забывают чаще экспоненты: пишут только e^{−z²/2} и получают 0,606 при z = 1 вместо 0,242. Без 1/√(2π) площадь колокола не единица.
Смена единиц: рост в сантиметрах и в метрах. Если μ и x перевели, σ тоже. Иначе z ломается, f ломается ещё и префактором 1/σ.
Сравнение двух законов с разными σ: более узкий выше в центре. Нельзя сказать «этот колокол вероятнее» по одной высоте — вероятности даёт площадь, Φ.
Обратный ход при f выше пика: под корнем отрицательное. Это не «другая ветвь», а невозможная высота для данного σ.
Точка на три σ правее: z = 3, f ≈ 0,0044 при σ = 1. Мало, но не машинный ноль. Не округляйте до нуля в отчёте, если просят плотность.
Итог журнала: высота Гаусса, не Φ, не P(X=x), σ > 0, обратный x только справа от μ, сырые единицы согласованы.
Контроль N(0,1) в x = 2: exp(−2) / √(2π) ≈ 0,0540. Не Φ(2) ≈ 0,977. Два разных числа из одного колокола — площадь и высота.
Если условие даёт z и просит плотность стандартного закона, кладите μ = 0, σ = 1, x = z. Не делите ещё раз на σ: она уже единица.
Широкий колокол σ = 10 в центре в десять раз ниже стандартного пика: 0,03989. Высота падает как 1/σ, экспонента в центре равна 1.
Связь с равномерным: полка U(a,b) обрывается, колокол тянется в бесконечность. Не обрезайте Гаусса «на глаз» до отрезка μ±3σ, если просят именно f(x).
Типичные ошибки
- Назвать f вероятностью точки.
- Забыть σ в префакторе.
- Спутать с Φ.
- Нулевое σ.
- Ждать обе ветви x.
Соседи: Φ(z), z-оценка, СКО, среднее, равномерная плотность.
Частые вопросы
- Какая формула плотности нормального закона?
- f(x) = 1/(σ√(2π)) exp(−(x−μ)²/(2σ²)). При μ = 0, σ = 1, x = 0 получите 1/√(2π) ≈ 0,3989.
- Это вероятность P(X=x)?
- Нет. У непрерывного закона вероятность точки ноль. f(x) — высота, из которой интеграл даёт вероятность куска.
- Это Φ(z)?
- Φ — площадь слева. Здесь высота. Для стандартного закона φ(z) = Φ′(z).
- Как найти x по плотности?
- Ветвь плюс: x = μ + σ √(−2 ln(f σ √(2π))). Симметричная точка слева не печатается.
- σ = 0?
- Запрещено. Вырожденный закон не имеет плотности в этой модели.
- Где хаб?
- Распределения.