P(Z ≤ z) для N(0,1)
Стандартный нормальный закон: среднее 0, дисперсия 1. Φ(z) — вероятность, что Z не больше z. Раздел: распределения.
Контроль: z = 0 → 0,5. z = 1 → ≈ 0,8413. z = −1 → ≈ 0,1587. Симметрия: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Это не «z процентов».
Обратный ход: квантиль, z по p из открытого интервала (0; 1).
Φ(z) и обратный квантиль
Φ(z) = P(Z ≤ z) для Z ~ N(0,1)
Φ(z) = ½ (1 + erf(z/√2)). Плотность в точке — сосед. Интеграл здесь уже свёрнут в число.
p = 0 и p = 1 соответствуют бесконечным z, страница их не ставит.
Не z-оценка и не плотность
Не (x−μ)/σ: там сырые единицы. Не f(x) колокола. Не процентиль выборки по ряду чисел. Не k/n.
Доверительный интервал для среднего — не эта страница.
Как пользоваться
Одно число z или p. Родитель статистика.
Сначала стандартизуйте x через z-оценку, затем Φ. Не кладите сырые 170 см в z.
Примеры
1. Центр. z = 0 → 0,5.
2. Плюс один σ. z = 1 → ≈ 0,8413.
3. Обратный центр. p = 0,5 → z = 0.
4. Минус один. z = −1 → ≈ 0,1587.
5. Запрет. p = 0 или 1.
Ещё задачи
Рост N(170, 10). Найти долю ниже 180: z = (180−170)/10 = 1, затем Φ(1) ≈ 0,8413. Первая стрелка — z-оценка.
Правило 68%: Φ(1)−Φ(−1) ≈ 0,68. 95% примерно между −2 и 2. Страница даёт точные Φ, не округление учебника.
Верхний хвост P(Z > z) = 1 − Φ(z). Не ищите отдельное поле.
Квантиль 0,975 ≈ 1,96. Обратный ход p = 0,975. Не 2 ровно, если нужна точность.
Не подставляйте проценты 84 в Φ: нужно 0,84.
Связь с плотностью: максимум плотности в 0 равен 1/√(2π) ≈ 0,40, это не Φ.
Двусторонний «от −a до a»: Φ(a)−Φ(−a) = 2Φ(a)−1.
Лаборатория: генератор N(0,1) не на странице. Сверьте долю наблюдений ниже 1 с 0,84 на большой выборке.
Смесь двух нормальных — не Φ одного z.
Выборочное СКО подставляйте в z-оценку, не в Φ напрямую.
z = 3 → Φ ≈ 0,9987, хвост 0,0013. Не ноль.
Отрицательный z обязателен для левой половины. Модуль без знака испортит Φ(−1).
Школа: таблица Лапласа
Учебник часто даёт Φ₀(z) = Φ(z) − 0,5 для z ≥ 0. Страница сразу Φ от −∞. Не прибавляйте 0,5 второй раз.
Памятка: площадь слева от z. Не высота колокола.
Чертёж: колокол, вертикаль в z, закраска слева.
Итог: одно z или одно p. Сырой x — другая страница.
Хаб распределений отделяет интеграл от стандартизации.
ЕГЭ: «найдите вероятность, что стандартная величина меньше 1» — Φ(1), не 1/√(2π).
Единицы z безразмерны. Не вольты и не метры.
Хвосты и симметрия
Φ(−z) + Φ(z) = 1. Проверка на ±1.
Родитель статистика. Среднее выборки не равно Φ.
Квантили 0,025 и 0,975 симметричны: минус друг друга.
Не экстраполируйте таблицу учебника за z = 4: страница всё равно даст число почти 1.
Проверка туда-обратно: z = 1 ↔ ≈ 0,8413.
Связь с процентилем ряда: процентиль выборки — порядок статистики, не Φ генеральной N(0,1).
Сырой рост 180 см нельзя класть в z. Сначала z = (x−μ)/σ, потом Φ. Две страницы, один ответ про долю.
Интервал «между 1 и 2» для стандартного закона: Φ(2) − Φ(1). Не Φ(2−1) и не плотность в 1,5.
Правило трёх сигм: Φ(3) − Φ(−3) ≈ 0,9973. Остаток 0,27% на оба хвоста. Это не «данные испорчены», а площадь учебной модели.
Обратный p = 0,9 даёт z ≈ 1,28, не 1,65. Квантиль 0,95 ≈ 1,645, квантиль 0,975 ≈ 1,96. Путают пороги двусторонних и односторонних задач.
Неравенство «больше z» всегда 1 − Φ(z). «Не меньше z» для непрерывного закона то же: точка не добавляет площади.
Итог журнала: одно стандартное z, площадь слева, обратный квантиль из (0;1), не сырое x, не высота колокола, не процентиль ряда.
Задача «доля выше среднего»: z = 0, Φ(0) = 0,5, хвост тоже 0,5. Не ищите 0,68 — это уже интервал ±σ, другой вопрос.
Смешение Φ и процентов: «84-й процентиль стандартного закона» ≈ Φ⁻¹(0,84) ≈ 1,0. Процентиль выборки из десяти чисел — другая страница с рядом, не эта таблица.
Численный контроль симметрии: посчитайте Φ(1,5) и 1 − Φ(−1,5). Расхождение — ошибка знака или таблицы учебника Φ₀.
Край z = 4: Φ ≈ 0,99997. Для школьной таблицы часто пишут «≈ 1». Страница оставляет хвост, чтобы не превратить редкое в невозможное.
Рост N(170; 6): доля ниже 182 см. z = (182−170)/6 = 2, Φ(2) ≈ 0,977. Не 2/6 и не «почти все» без числа.
Не кладите σ в поле z. Стандартизация уже сделана или делается на соседней странице.
Типичные ошибки
- Класть сырое x вместо z.
- Путать Φ с плотностью.
- Пользоваться Φ₀ и прибавлять 0,5 дважды.
- p = 0 или 1 в обратном ходе.
- Проценты вместо доли.
Соседи: z-оценка, плотность Гаусса, СКО, среднее, процентиль.
Частые вопросы
- Что такое Φ(z)?
- Функция распределения стандартного нормального: P(Z ≤ z) при Z ~ N(0,1). Φ(0) = 0,5. Φ(1) ≈ 0,8413.
- Как найти z по вероятности?
- Переключатель на z. p строго между 0 и 1. Φ = 0,5 даёт z = 0. Края 0 и 1 страница отвергает.
- Это z-оценка?
- z = (x−μ)/σ переводит сырое x. Сюда кладёте уже стандартный z и читаете вероятность.
- Это плотность?
- Плотность — высота колокола, не площадь слева. Φ — площадь.
- P(|Z| ≤ 1)?
- Φ(1) − Φ(−1) ≈ 0,6827. Две точки, разность вручную.
- Где хаб?
- Распределения.