Сколько СКО до центра
Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение x выше или ниже среднего μ. Тест: 12, 10 и 2 → 1. Хаб: описательная статистика.
Четыре скаляра, не список. σ строго больше нуля.
z = (x − μ) / σ
z = (x − μ) / σ
Обратный ход к x, μ или σ. Нулевое σ запрещено. Нулевой z при поиске σ тоже делит на ноль.
Не процентиль и не Φ(z)
Не ранг в ряду. Не Φ(z) и не плотность Гаусса — это соседняя тема распределений. Не расчёт s по списку: σ сюда уже готовое. Не среднее списка — μ вводится числом.
Как пользоваться
Выберите z, x, μ или σ. Раздел: описательная статистика.
Примеры
Прямая. 12, 10, 2 → z = 1.
Ниже центра. x = 8, μ = 10, σ = 2 → z = −1.
x обратно. z = 1, μ = 10, σ = 2 → 12.
Запрет. σ = 0.
Ещё задачи
Сначала s по ряду, затем подставьте s как σ. Две страницы, не одна.
z = 0 значит x совпало со средним.
z = 2 — на два СКО выше. Без нормальности это не «2,5% хвоста».
Обратный: какой x даёт z = −1,5 при μ = 100 и σ = 8 → 88.
Лаборатория: стандартизуйте два прибора с разными шкалами, чтобы сравнить отклонения.
Не подставляйте размах вместо σ.
Проценты 50 не равны z = 0,5.
Отрицательный z законен и чаще встречается, чем думают.
Не используйте как медицинский «отклонение от нормы ВОЗ» без их таблиц.
Итог: разность, деление на σ, без колокола.
Школа: стандартизация, не нормальный интеграл
Смысл z — безразмерное сравнение. Рост в см и балл из 100 нельзя вычитать, но z того и другого уже в одних «штуках СКО».
Нормальная таблица Φ(z) требует модели колокола. Её считает стандартный нормальный закон. На этой странице только z = (x − μ)/σ.
Чертёж: ось x, отметка μ, шаг σ, точка x, подпись z.
Связь с s: часто σ берут как s выборки. Тогда z описывает положение относительно выборочного центра.
Связь с процентилем: перевод z → доля в ряду — эмпирика. Перевод z → вероятность хвоста — Φ(z), не эта страница.
Лабораторный отчёт: x, μ, σ, z, единицы σ те же, что у x, z без единиц.
Памятка: Φ(z) на соседней странице; нет списка; σ не нуль; обратный ход есть.
Правило «почти все данные в ±3σ» — эвристика нормального закона, не теорема этой страницы.
Итог журнала: стандартизация одного числа, не процентиль, не интеграл.
Ещё сюжет двух классов: средний балл 70 и 40, СКО 5 и 10. Балл 80 в первом — z = 2, во втором z = 4. Сравнивать сырые 80 бессмысленно.
Ещё сюжет роста: 180 см при μ = 170 и σ = 6 даёт z ≈ 1,67. Это не процентиль таблицы призыва.
Ещё сюжет нуля σ: все измерения совпали, стандартизация не определена. Не делите на нуль «для галочки».
Ещё сюжет знака: x ниже среднего даёт отрицательный z. Не берите модуль, если не просили.
Ещё сюжет отчёта: четыре числа, формула, z без единиц, запрет читать как вероятность хвоста.
Стандартизация не делает данные нормальными. z-ряд может остаться косым. Не рисуйте колокол только потому, что посчитали z.
Проверка знака: x = μ − 2σ даёт z = −2. Модуль 2 потеряет направление «ниже центра». Оставляйте минус.
Обратный ход к σ: σ = (x − μ)/z. При z = 0 деление запрещено — и правильно: если x уже равно μ, любое σ даёт z = 0, σ не восстановить.
Не подставляйте процентиль 95 вместо x. Сначала найдите x_p на соседней странице, потом, если нужно, z этого x.
Итоговая памятка: четыре скаляра, σ больше нуля, z без единиц, Φ на соседней странице, нет списка, нет медицинского центиля.
Сравнение шкал: балл ЕГЭ и время в секундах. Сырые величины не вычитают. z вычитает уже после деления на свои σ. Это единственный честный мост между шкалами на этих страницах.
Не читайте |z| больше 3 как «ошибка ввода» автоматически. Для узкого σ даже скромный хвост даёт большой z. Сначала проверьте σ.
Обратный ход к x полезен в задаче «какое значение лежит на z = 1,2 выше среднего». Подставьте μ и σ, получите x. Это не процентиль ряда.
Нулевой z и поиск σ: невозможно. Любое положительное σ даёт z = 0, когда x = μ. Калькулятор отклонит деление.
Связь с выборочным СКО: посчитайте s на списке, перенесите число в поле σ. Не ждите, что страница z сама прочитает список — полей списка нет.
Не подставляйте размах / 4 как «оценку σ», если не оговорили это грубое правило. Страница ждёт явное σ.
Контроль: x = 12, μ = 10, σ = 2 → 1. Обратно x = 12. Четыре теста на странице покрывают круг.
Ещё сюжет двух групп: одинаковый x = 80 при разных μ и σ даёт разные z. «80 баллов» без центра и разброса не сравнивают классы.
Не путайте z с процентными пунктами: разница 5 п.п. двух долей — другая страница арифметики. z требует σ в тех же единицах, что x и μ.
Связь с медианой отсутствует: медиана не стоит в формуле z. Подставлять Me вместо μ можно только если условие явно заменило центр, обычный курс так не делает.
Итоговая проверка бланка: четыре скаляра, σ не нуль, z без единиц, Φ(z) не здесь, нет списка наблюдений.
Типичные ошибки
- σ = 0
- Путать с процентилем
- Читать z как Φ(z) без соседней страницы
- Подставлять размах
- p = 50 вместо z
Соседи: СКО, среднее, процентиль, выборочная дисперсия, размах
Частые вопросы
- Какая формула z-оценки?
- z = (x − μ) / σ. σ не ноль.
- x = 12, μ = 10, σ = 2?
- z = 1.
- Обратный ход?
- x = μ + z σ. Можно найти μ или σ, если z не ноль для σ.
- Это процентиль?
- Нет. Процентиль ищет член ряда. z — скаляр без ряда.
- Таблица нормального закона?
- Нет. Интеграл — Φ(z) в распределениях. Здесь только стандартизация.
- Где хаб?
- Описательная статистика.