Ровно k событий при среднем λ
Пуассон описывает счётчик редких независимых событий: вызовы, дефекты, вспышки. P(X=k) = e^{−λ} λᵏ / k!. Раздел: распределения.
Контроль: λ = 1, k = 0 → e^{−1}. λ = 2, k = 2 → 2 e^{−2}. λ = 1, k = 3 → e^{−1}/6. Это не «k/λ». e — константа, поле λ.
k целое от 0 до 170. λ строго больше нуля.
e^{−λ} λᵏ / k!
P(X=k) = e^{−λ} · λᵏ / k!
Счёт в логарифмах: −λ + k ln λ − ln(k!). Обратного хода по λ нет: уравнение смешанное. k! считает тот же объект, что факториал.
k = 0: P = e^{−λ}, степени λ нет.
Не бином и не показательная плотность
Не C(n,k)pᵏ: нет n. Не плотность λ e^{−λx} непрерывного времени ожидания. Не k/n. Не сумма xᵢ pᵢ — среднее здесь само λ.
Нормальный колокол — непрерывный сосед, не счётчик.
Как пользоваться
Два входа: k и λ. Искомое P. Родитель статистика.
Интервал, на котором задано среднее, должен совпасть с тем, про который вопрос. λ за час не кладите в задачу «за минуту» без пересчёта.
Примеры
1. Ноль событий, λ = 1. e^{−1} ≈ 0,3679.
2. k = λ = 2. 2 e^{−2} ≈ 0,2707.
3. k = λ = 1. e^{−1} снова.
4. k = 3, λ = 1. 1/(6e) ≈ 0,0613.
5. Запрет. λ = 0.
Ещё задачи
АТС, среднее 3 вызова в минуту, ровно 0 за минуту: e^{−3} ≈ 0,05. Не 0.
Брак: среднее 0,4 дефекта на партию, ровно 1: 0,4 e^{−0,4} ≈ 0,268.
«Хотя бы один»: 1 − P(0) = 1 − e^{−λ}. Страница даёт P(0), вычитаете.
Не подставляйте k = λ как вероятность 1. При λ = 2 мода около 2, но P(2) ≈ 0,27, не единица.
Связь с биномом: n = 100, p = 0,02, λ = 2, k = 2. Сравните две страницы, они близки, не равны.
Большое k = 20 при λ = 2 — крошечное P. Не ошибка формулы.
Единицы λ: «штук за интервал», безразмерный счётчик. Не вольты.
Лаборатория: счётчик Гейгера, среднее 5 импульсов, ровно 5. 5⁵ e^{−5} / 120.
Не путайте с длинами на отрезке: там непрерывная доля длины, не счётчик.
Два независимых пуассоновских потока складываются: λ₁+λ₂. Страница одного потока.
Проверка: сумма pmf по k теоретически 1. Частичная сумма 0…N приближает, страница одну точку.
λ = 0,5, k = 0: √(1/e) нет, просто e^{−0,5} ≈ 0,6065.
Школа: редкие события
Образ: мало событий на большой возможности. Поток без пачек и памяти в учебной модели.
Памятка: e в минус λ, степень λ, делить на факториал. Не λᵏ без e^{−λ}.
Чертёж: ось k = 0,1,2,… столбики pmf, максимум около λ.
Итог: два числа, одна вероятность. Не плотность времени ожидания.
Хаб распределений держит Пуассон рядом с биномом, не вместо него.
ЕГЭ: «среднее 2, найти P(X=0)» — e^{−2}, не 0.
k! для k = 0 равен 1. Не делите на ноль.
Среднее и дисперсия
И среднее, и дисперсия равны λ. Страница их не печатает отдельными полями: λ уже ввод.
Родитель статистика. Дискретное E(X) — общий ряд, здесь закон известен.
Нормальное приближение при большом λ — через Φ после стандартизации √λ, не эта точка pmf.
Проверка k = 0,1 при λ = 1: оба e^{−1}, моды две.
Не ставьте отрицательный k.
Связь с независимостью: интервалы без перекрытия независимы в модели потока.
Пересчёт λ на другой интервал: если среднее 6 за час, за 10 минут λ = 1. Не оставляйте «шестёрку» в задаче про десять минут — получите чужой закон.
Пачки событий (автобусы парой) ломают Пуассона: независимость приращений пропадает. Учебная страница этого не чинит.
Сравнение с биномом на бланке: выписали n = 50, p = 0,04, спрашивают P(X=2). Можно обе страницы. Пуассон быстрее, бином точнее для конечного n. Не выдавайте совпадение за тождество.
k = 0 при большом λ почти ноль: «тишина» редка, если среднее велико. Это не ошибка e^{−λ}.
Не подставляйте частоту 17 из 80 как λ. λ — параметр модели, частота — оценка. Сначала решите, что дано в условии.
Итог журнала: одно λ, целое k, точка pmf, не плотность времени, не бином без оговорки предела, не k/n.
Пример АТС ещё раз с пересчётом: 180 вызовов за час → λ = 3 за минуту. P(X=0) за минуту = e^{−3}, не e^{−180}. Масштаб интервала — часть условия, не «коэффициент красоты».
Редкость не значит «почти никогда k ≥ 1». При λ = 0,2 вероятность хотя бы одного 1 − e^{−0,2} ≈ 0,18 — уже заметно. Не путайте малое среднее с нулевой вероятностью события.
Счётчик за два независимых окна: сложите λ, не умножайте вероятности точек, пока не выписали закон суммы. Сумма двух Пуассонов снова Пуассон.
Типичные ошибки
- Забыть e^{−λ}.
- Подставить n и p вместо λ.
- Дробный k.
- Считать P(X=λ) = 1.
- Нулевое λ.
Соседи: бином, факториал, ожидание, классика k/n, независимые события.
Частые вопросы
- Какая формула Пуассона?
- P(X=k) = e^{−λ} λᵏ / k!. При λ = 1 и k = 0 получите 1/e ≈ 0,3679. При λ = 2 и k = 2 — 2/e² ≈ 0,2707.
- Что такое λ?
- Среднее число событий за выбранный интервал. λ > 0. Нуль страница отвергает.
- Это биномиальное?
- Бином требует n и p. Пуассон — предел при большом n и малом p с λ = np, но поля n здесь нет.
- Почему в формуле e?
- Основание натуральной экспоненты, не переменная. Поле называется λ, не e.
- k дробное?
- Нет. Целое k ≥ 0. Счётчик событий не половинка.
- Где хаб?
- Распределения.