Плотность времени ожидания
Показательный закон описывает непрерывное время до события в простейшем потоке: звонок, отказ, приход клиента. Плотность f(x) = λ e^{−λx} на [0; ∞). Раздел: распределения.
Контроль: λ = 1, x = 0 → 1. λ = 1, x = 1 → e^{−1} ≈ 0,3679. λ = 2, x = 0 → 2: более частые события — выше пик в нуле. Это не «вероятность ждать ровно секунду».
x ≥ 0, λ > 0. Символ поля — λ, не e: e в формуле — основание экспоненты, не переменная.
λ e^{−λx}
f(x) = λ e^{−λx} (x ≥ 0)
Обратный ход к x: логарифм отношения высоты к пику. Если f больше λ, под логарифмом число больше 1, время вышло бы отрицательным — страница стопорит.
Плотность не вероятность точки. P(X > t) = e^{−λt} считайте сами; страница даёт высоту.
Не Пуассон и не полка
Не P(X=k) счётчика: там целое k и среднее λ событий, здесь непрерывный x. Не полка 1/(b−a): хвост показательного тянется, не обрывается. Не колокол: нет симметрии влево от нуля. Не номер попытки.
Связь с Пуассоном сюжетная: если счётчик за время t пуассоновский с λt, время до первого события как раз показательное с тем же λ.
Как пользоваться
Прямой ход: λ и x → f. Обратный x: f и λ. Родитель статистика.
Единицы: если x в часах, λ — «событий в час». Не смешивайте минуты и часы в одной паре.
Примеры
1. Пик. λ = 1, x = 0 → 1.
2. Одна единица времени. λ = 1, x = 1 → ≈ 0,3679.
3. Чаще. λ = 2, x = 0 → 2.
4. Обратный x. f = e^{−1}, λ = 1 → 1.
5. Запрет. x < 0 или f > λ.
Ещё задачи
Среднее 10 минут между автобусами, λ = 0,1 мин⁻¹, высота в нуле 0,1. P(ждать больше 10 мин) = e^{−1} ≈ 0,37 — это не f(10).
Не называйте f(5) вероятностью «ровно 5 минут». У непрерывного закона точка имеет вероятность ноль.
Без памяти: сколько уже ждали, хвост тот же. P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Не увеличивайте λ «от злости».
Связь с геометрическим: дискретная версия «первого успеха». Не подставляйте номер попытки в x без перевода в время.
Лаборатория: датчик показательных интервалов, гистограмма должна сесть на убывающую экспоненту, не на колокол.
Большое x: λ = 1, x = 10, f ≈ 4,5·10⁻⁵. Мало, не машинный ноль в отчёте, если просят плотность.
Два независимых показательных — минимум снова показательный с суммой λ. Страница одного потока.
Не ставьте λ = 0: вечного ожидания без событий в этой модели нет как плотности.
Проверка площади: ∫ λ e^{−λx} dx от 0 до ∞ равна 1. Страница интеграл не печатает.
Дискретное E не заменяет 1/λ.
Смешайте λ: если интенсивность днём и ночью разная, один λ врёт.
Связь с Пуассоном: λ = 3 события в час, P(ноль за час) = e^{−3}. Плотность времени до первого в точке 1 ч — 3 e^{−3}, другое число.
Школа: без памяти
График: начинается в λ на оси f, падает к нулю, никогда не уходит в отрицательный x.
Памятка: умножить λ на e в минус λx. Забыть λ в префакторе — как забыть σ у Гаусса.
ЕГЭ чаще просит P(X ≤ t) = 1 − e^{−λt}, не саму f. Если просят плотность — эта страница.
Хаб распределений держит показательное рядом с Пуассоном, не вместо него.
Итог: высота на [0; ∞), не столбик k, не полка, не колокол.
Не пишите f = e^{−λx} без λ спереди, если λ ≠ 1.
Среднее 1/λ
Среднее время ожидания 1/λ, дисперсия 1/λ². При λ = 2 среднее пол-единицы времени. Поля среднего нет.
Родитель статистика. Выборочное среднее ряда интервалов оценивает 1/λ, не заменяет плотность.
Мода всегда x = 0: самое правдоподобное — событие сразу, хотя среднее может быть большим при малом λ.
Обратный контроль: пик f(0) = λ, среднее 1/λ. Чем выше пик, тем короче среднее ожидание.
Не путайте с серединой отрезка (a+b)/2.
Квантиль 0,5 (медиана) = ln 2 / λ ≈ 0,693/λ, меньше среднего: закон скошен вправо.
Итог журнала: λ и x ≥ 0, высота λ e^{−λx}, не Пуассон-точка, не отрицательное время, f ≤ λ при обратном ходе.
Связь единиц: λ = 4 в час → среднее 15 минут. Переведите, прежде чем класть x = 15 при λ = 4.
Поток отказов прибора: учебная модель без износа. Реальный износ ломает постоянное λ — не эта страница.
Проверка туда-обратно: λ = 1, x = 1 ↔ f = 1/e.
Не подставляйте Φ(z) вместо показательного хвоста. Нормальный интеграл — другая страница.
Сравнение с геометрическим средним 1/p: если шаг времени равен 1, p ≈ 1 − e^{−λ} для малого интервала. Не равенство p = λ без оговорки шага.
Типичные ошибки
- Забыть λ в префакторе.
- Спутать с Пуассоном P(X=k).
- Отрицательный x.
- Назвать f вероятностью точки.
- f больше λ в обратном ходе.
Соседи: Пуассон, равномерная плотность, колокол, геометрический закон, ожидание.
Частые вопросы
- Какая плотность показательного закона?
- f(x) = λ e^{−λx} при x ≥ 0. λ = 1, x = 0 даёт высоту 1. λ = 1, x = 1 даёт 1/e ≈ 0,3679.
- Что такое λ?
- Интенсивность, поле называется λ, не e. e — основание экспоненты. λ строго больше нуля.
- Это распределение Пуассона?
- Пуассон считает число событий за интервал: P(X=k). Здесь плотность непрерывного времени до события.
- x отрицательный?
- Страница отвергает. В учебнике часто пишут f = 0 слева от нуля; здесь носитель [0; ∞).
- Как найти x по плотности?
- x = −(1/λ) ln(f/λ). Высота f не больше λ: пик в нуле равен λ. f = 2 при λ = 1 невозможно.
- Где хаб?
- Распределения.