Член с постоянной разностью
Арифметическая прогрессия — ряд, в котором каждый следующий член получается прибавлением одной и той же разности d. Формула n-го члена aₙ = a + (n − 1)d не складывает все предыдущие числа: она сразу прыгает к нужному месту в ряду.
Контрольный расчёт: a = 2, d = 3, n = 5 → a₅ = 2 + 4·3 = 14. Ряд: 2, 5, 8, 11, 14. Раздел: последовательности.
Разность может быть отрицательной: тогда ряд убывает. Нулевая разность даёт константу. Номер n — натуральное число, не дробный «полтора-й» член.
aₙ = a + (n − 1)d
aₙ = a + (n − 1)d
Четыре поля: aₙ, a, d, n. По умолчанию безразмерные. Обратный ход находит первый член, разность или номер. При поиске d знаменатель n − 1: для первого члена разность не определена этой формулой.
Поиск n делит размах aₙ − a на шаг d. Если d = 0 и aₙ ≠ a, решения нет. Если d = 0 и aₙ = a, любой номер формально подходит — страница отклоняет неоднозначность.
Не сумма и не среднее
Не сумма S = n/2 · (2a + (n − 1)d): там накопление всех членов от первого до n-го. Здесь только значение на позиции n.
Не среднее арифметическое произвольного списка: среднее не требует постоянной разности. Не геометрическая прогрессия: там умножение на r, а не сложение d.
Не линейное уравнение ax + b = c в чистом виде, хотя по номеру член линеен. Не числа Фибоначчи: там шаг сам растёт.
Как пользоваться
Оставьте пустым одно поле. Для прямого хода задайте a, d и n ≥ 1. Для разности нужны aₙ, a и n > 1. Для номера — aₙ, a и ненулевая d.
Знаки сохраняйте: отрицательный d — убывание. Нулевой d допустим, если ищете член, а не номер.
Родительский хаб: математика. Сосед по алгебре: линейное уравнение.
Примеры
1. Прямая. a = 2, d = 3, n = 5 → aₙ = 14.
2. Первый член. aₙ = 14, d = 3, n = 5 → a = 2.
3. Разность. aₙ = 14, a = 2, n = 5 → d = 3.
4. Номер. aₙ = 14, a = 2, d = 3 → n = 5.
5. Первый член. n = 1, a = 7, любой d → aₙ = 7. Искать d при n = 1 нельзя.
Ещё задачи
Ряд мест в театре: в первом ряду 18 кресел, каждый следующий на 2 больше. Сколько в 12-м ряду? a = 18, d = 2, n = 12 → a₁₂ = 18 + 11·2 = 40.
Температура падает на 4 градуса каждый час от +12. Через 6 часов: a = 12, d = −4, n = 6 → a₆ = 12 + 5·(−4) = −8.
Константа: все измерения 7,5. Тогда d = 0, любой n даёт 7,5. Номер по значению 7,5 страница не выдаст.
Связь с суммой: члены 2, 5, 8, 11, 14 складываются в 40 на соседней странице. Здесь нужен только 14.
Якорь: разность 3, пятый член на 12 больше первого. Это ровно (5 − 1)·3. Если в тетради вышло 15, вы умножили на n, а не на n − 1.
Отрицательный первый член: a = −10, d = 4, n = 4 → a₄ = −10 + 12 = 2. Знак a не запрещён.
Дробная разность: a = 1, d = 1/2, n = 5 → a₅ = 1 + 2 = 3. Страница принимает десятичную запись 0,5.
Не подставляйте сумму ряда вместо aₙ. Сумма растёт примерно как n²/2 · d, член — линейно по n.
Проверка обратным ходом: получили aₙ, верните a через a = aₙ − (n − 1)d. Должно совпасть с исходным первым членом.
Если условие даёт два члена aₖ и aₘ, сначала найдите d = (aₘ − aₖ)/(m − k) в тетради, затем эту страницу для нужного n.
Школа: линейный рост номера
Образ: ступеньки одинаковой высоты. Высота n-й ступеньки — старт плюс (n − 1) подъёмов. Первый этаж уже «на месте», поэтому минус единица.
График aₙ от n — точки на прямой с угловым коэффициентом d. Это не парабола суммы и не экспонента геометрической прогрессии.
Памятка: n − 1 шагов от первого до n-го. Не n шагов. Не n + 1.
Контроль: при n = 2 формула даёт a + d — второй член, как в определении.
Итог: четыре величины, одна связь, запрет деления на ноль при n = 1 (для d) и при d = 0 (для n).
Чертёж: ось n, точки на равных промежутках по вертикали d.
Убывающий ряд — те же ступеньки вниз. Формула не меняется, меняется знак d.
Хаб последовательностей держит рядом сумму и геометрический сосед.
Зарплата, ряд, термометр
Ежегодная прибавка фиксированной суммой: оклад через k лет — арифметика, не процентный рост. Проценты были бы геометрической прогрессией.
Нумерация домов через один: 1, 3, 5, … — d = 2. Номер «пятнадцатого нечётного» считают этой формулой, не перечислением.
Шкала прибора с равномерными делениями: цена деления — разность. Отсчёт от нулевой риски — первый член.
Спортивный забег с гандикапом: каждый следующий стартует на t секунд позже. Время старта n-го — арифметика.
Не путайте с процентным изменением: там база меняется, шаг не постоянен в абсолютных единицах.
Якорь 2 + 4·3 = 14 должен сидеть в голове как таблица умножения для этой страницы.
Связь с средним: среднее первых n членов арифметической прогрессии равно среднему первого и последнего, но это уже свойство суммы, не этой формулы.
Лабораторный ряд измерений с постоянным шагом температуры — прямое применение. Сбой шага (один интервал другой) ломает модель: тогда это просто список для среднего.
Родитель: математика. Алгебраический мост — линейное уравнение.
Проверка в тетради
Выпишите первые пять членов вручную и сверьте пятый с калькулятором. Если четвёртый уже не сходится, ошибка в d, не в формуле n-го члена.
Для поиска n проверьте, что (aₙ − a) делится на d нацело в школьной задаче с целыми членами. Калькулятор может выдать дробный номер — значит, aₙ не лежит на этой прогрессии.
Единицы: страница безразмерная. Рубли, градусы и метры вы держите в уме одинаковыми у a, d и aₙ.
Не смешивайте номер члена с его значением: n = 5 и a₅ = 14 — разные поля.
После члена перейдите к сумме, если спрашивают «сколько всего».
Типичные ошибки
- Написать aₙ = a + n d вместо (n − 1)d.
- Искать разность при n = 1.
- Путать член с суммой первых n членов.
- Подставить знаменатель геометрической прогрессии вместо d.
- Ждать номер при нулевой разности.
Соседи: сумма арифметической прогрессии, геометрический член, линейное уравнение, среднее.
Частые вопросы
- Как найти n-й член арифметической прогрессии?
- aₙ = a + (n − 1)d. Первый член a, разность d, номер n натуральный. 2, 3, 5 дают 14.
- Можно найти разность или номер?
- d = (aₙ − a) / (n − 1) при n ≠ 1. n = (aₙ − a) / d + 1 при d ≠ 0. Если все члены равны, номер по одному значению не восстановить.
- Что будет при n = 1?
- a₁ всегда равен a, разность в формулу не входит. Искать d при n = 1 нельзя: деление на ноль.
- Это сумма прогрессии?
- Сумма n членов — другая страница. Здесь один член, не накопленная сумма ряда.
- Связь с линейным уравнением?
- ax + b = c ищет одно неизвестное. Прогрессия — линейная функция номера: aₙ = d·n + (a − d).
- Где хаб?
- Последовательности и математика.