Накопленная сумма ряда
Сумма арифметической прогрессии складывает n первых членов ряда с постоянной разностью. Формула S = n/2 · (2a + (n − 1)d) не требует выписывать все слагаемые: она использует только старт, шаг и длину куска.
Контроль: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40. Те же a = 2, d = 3, n = 5 в формуле: 5/2 · (4 + 12) = 40. Раздел: последовательности.
Другая привычная запись: S = n/2 · (a + aₙ), где aₙ уже найден. Эта страница считает S напрямую, без отдельного поля последнего члена.
S = n/2 · (2a + (n − 1)d)
S = n/2 · (2a + (n − 1)d)
Поля S, a, d, n. Номер n всегда ввод: страница не решает квадратное уравнение относительно n. Обратный ход есть для a и d.
При n = 1 получается S = a, разность выпадает. Искать d из одной точки нельзя — деление на n − 1.
Не один член и не среднее списка
Не aₙ = a + (n − 1)d: там значение на месте n, здесь сумма мест с 1 по n. Числа связаны, ответы разные: 14 против 40 в контрольном примере.
Не среднее пятёрки произвольных оценок. Не сумма геометрической прогрессии: там знаменатель r, не разность d.
Не линейное уравнение: неизвестное одно, ряда нет. Не бесконечная сумма: n конечно и задано.
Как пользоваться
Пустым оставьте S, a или d. Число членов n укажите всегда. Для суммы нужны a, d и n. Для первого члена — сумма, разность и n.
Отрицательная разность уменьшает поздние члены: сумма может быть меньше n·a. Нулевая разность даёт S = n·a.
Родитель: математика. Мост к среднему: среднее арифметическое.
Примеры
1. Прямая. a = 2, d = 3, n = 5 → S = 40.
2. Первый член. S = 40, d = 3, n = 5 → a = 2.
3. Разность. S = 40, a = 2, n = 5 → d = 3.
4. Один член. n = 1, a = 10, любой d → S = 10. Разность не ищут.
5. Константа. d = 0, a = 4, n = 6 → S = 24.
Ещё задачи
Копилка: кладут 50, потом на 10 больше каждый день. За неделю: a = 50, d = 10, n = 7 → S = 7/2 · (100 + 60) = 560.
Трибуна: 20 мест в первом ряду, каждый следующий +4, десять рядов. S = 10/2 · (40 + 36) = 380 мест.
Часы работы: 8, 7, 6, 5, 4. Это a = 8, d = −1, n = 5 → S = 30. Сумма часов за пятидневку.
Сверьте с последним членом: a₇ копилки = 50 + 6·10 = 110, тогда S = 7/2 · (50 + 110) = 560 — тот же ответ.
Якорь: 40 для пятёрки 2, 5, 8, 11, 14. Если вышло 35, вы сложили только до 11 и забыли 14.
Большое n: a = 1, d = 1, n = 100 — сумма натуральных 5050. Формула n(n + 1)/2 здесь частный случай при a = 1, d = 1.
Не подставляйте среднее списка в поле S. Среднее первых n членов этой прогрессии равно (a + aₙ)/2, сумма — n раз это среднее.
Два ряда мест с разными d — две отдельные суммы, страница одну прогрессию не склеивает.
Отрицательная сумма возможна, если ряд уходит в минус быстрее, чем растёт n. Это не ошибка ввода.
После суммы член на позиции n смотрите у соседа по хабу, не вычитайте «на глаз» из S.
Школа: пары с краёв
Образ Гаусса: первый плюс последний, второй плюс предпоследний — одинаковые пары. Таких пар n/2, отсюда множитель n/2.
Поэтому S = n/2 · (a + aₙ). Развернув aₙ, получаете запись через d, которую считает страница.
Памятка: сумма квадратична по n при фиксированном d ≠ 0. Член линеен. Не путайте рост.
Контроль n = 2: S = a + (a + d) = 2a + d, и формула 1 · (2a + d) совпадает.
Итог: S, a, d при известном n. Квадрат относительно n не раскрываем.
Чертёж: столбики высоты членов, площадь «трапеции» — сумма.
Хаб последовательностей отделяет сумму от члена, чтобы запрос «сколько всего» не попадал на страницу aₙ.
Копилка, трибуна, часы
Фиксированная ежедневная прибавка к взносу — арифметика суммы. Если бы взнос умножался на процент, это была бы геометрическая сумма.
Стопка брёвен «колодцем»: нижний ряд длиннее верхнего на постоянное число — сумма длин рядов.
Расписание: каждый следующий урок на 5 минут длиннее. Суммарное время — эта формула, не среднее одного урока.
Не процент от числа: доля не строит ряд. Не факториал: там произведение, не сумма.
Якорь 40 держит пример из пяти членов с разностью 3.
Связь со средним: посчитали S, разделили на n — среднее этой прогрессии. Обратно: среднее · n = S, но средний калькулятор не знает про d.
Лабораторный ряд с постоянным шагом тока: суммарный заряд за n шагов, если шаг по времени одинаков и ток растёт линейно — учебная аналогия, не физическая страница.
Родитель математика. Алгебра рядом: линейное уравнение для одного неизвестного без суммирования.
Сверка с перечислением
Для n ≤ 10 сложите члены вручную. Расхождение на 1 обычно из-за лишнего или недостающего шага в конце.
Проверьте, что n — число слагаемых, а не номер последнего в другой нумерации (с нуля).
Единицы одинаковы у a, d и S. Смешение рублей и копеек ломает разность.
Не решайте n подбором на этой странице: подбор — в тетради через квадратное, если учебник требует.
Последний член возьмите с страницы члена, если учитель просит запись n/2 · (a + aₙ).
Типичные ошибки
- Спутать S с aₙ: 40 вместо 14 в контрольном примере.
- Забыть множитель n/2 и оставить только скобку.
- Искать разность при одном слагаемом.
- Подставить знаменатель геометрической суммы.
- Ждать, что страница найдёт n.
Соседи: n-й член арифметической прогрессии, среднее, геометрическая сумма, линейное уравнение.
Частые вопросы
- Как найти сумму арифметической прогрессии?
- S = n/2 · (2a + (n − 1)d). Для a = 2, d = 3, n = 5 сумма 40. Равносильно n/2 · (первый + последний).
- Можно найти a или d?
- Да. a = S/n − (n − 1)d/2. Разность — из той же связи. При n = 1 разность не восстановить: сумма равна единственному члену.
- Почему нельзя найти n?
- Уравнение по n квадратное. Страница оставляет n вводом. Один член ряда ищите на странице прогрессии, не здесь.
- Это среднее арифметическое?
- Среднее делит сумму произвольных чисел на их количество. Здесь числа связаны постоянной разностью, а ответ — сумма, не среднее.
- Чем отличается от n-го члена?
- Член aₙ — одно число на позиции n. Сумма — все числа от a₁ до aₙ вместе.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.