Два старта и два коэффициента
Линейная однородная рекуррента второго порядка задаёт каждый новый член как комбинацию двух предыдущих: uₙ = a uₙ₋₁ + b uₙ₋₂. Нужны два начальных значения u₀, u₁ и номер n. Это общий ящик, из которого достают и Фибоначчи, и Люка, и геометрический ряд при b = 0.
Контроль: a = 1, b = 1, u₀ = 0, u₁ = 1, n = 10 → 55, как F₁₀ при нумерации с нуля. Раздел: последовательности.
Второй якорь: те же a, b, но u₀ = 2, u₁ = 1, n = 10 → 123, как L₁₀ в нумерации с L₀ = 2.
uₙ = a uₙ₋₁ + b uₙ₋₂
uₙ = a · uₙ₋₁ + b · uₙ₋₂ (заданы u₀ и u₁)
Шесть полей, искомое — uₙ. n целое от 0 до 80. Коэффициенты a и b могут быть нулями. Обратного поиска коэффициентов нет: одна точка не восстанавливает два числа.
При n = 0 ответ u₀, при n = 1 — u₁. Цикл начинается с n = 2.
Не одна прогрессия и не уравнение ax+b=c
Не линейное уравнение с одним x. Не готовая арифметическая и не геометрическая без настройки коэффициентов.
Не закрытая формула через корни характеристического уравнения: страница итерирует, не решает λ² − aλ − b = 0.
Фибоначчи и Люка вынесены отдельно, потому что запросы «F(n)» и «L(n)» не должны требовать помнить старты.
Как пользоваться
Задайте a, b, u₀, u₁ и n. Оставьте uₙ пустым. Если n > 80 или член переполнился — отказ.
Родитель математика. Частные страницы: Фибоначчи, Люка.
Примеры
1. Фибоначчи с нуля. a = b = 1, u₀ = 0, u₁ = 1, n = 10 → 55.
2. Люка с нуля. a = b = 1, u₀ = 2, u₁ = 1, n = 10 → 123.
3. Старт. n = 0 → u₀. n = 1 → u₁.
4. Геометрия. b = 0, a = 2, u₀ = 1, u₁ = 2, n = 4 → 16 (умножение на 2).
5. Потолок. n = 81 отклоняется.
Ещё задачи
Арифметика: чтобы получить 2, 5, 8, 11, … можно подобрать рекурренту, но проще страница члена с d = 3.
Пелль и другие именные ряды — те же a, b, другие старты. Страница не подписывает имя ряда, только число uₙ.
Якорь 55 против 123 разделяет два классических старта при a = b = 1.
b = 0, a = r, u₁ = r u₀ даёт геометрическую прогрессию. Сверьте с aₙ = a rⁿ⁻¹: нумерация с нуля сдвигает показатель.
Отрицательный b: знакопеременные добавки. Не ошибка, если условие такое.
Не решайте характеристическое уравнение на этой странице: корни λ нужны для формулы общего члена в тетради, калькулятор идёт циклом.
Совпадение u₁₀ = 55 не доказывает, что ряд — Фибоначчи: проверьте u₀ и u₁.
После общего ящика удобно вернуться на именную страницу, если коэффициенты канонические.
Большие |a|, |b| при n = 80 легко дают бесконечность — будет отказ, не «Infinity» в поле ответа.
Связь со линейным уравнением: одно x против целого ряда. Не подставляйте n в ax+b=c вместо рекурренты.
Школа: Фибоначчи и Люка как частные случаи
Школьный F₁ = 1, F₂ = 1 соответствует u₀ = 0, u₁ = 1 и сдвигу: Fₙ = uₙ при этой нумерации для n ≥ 1, u₀ отдельно ноль.
Люка L₁ = 1, L₂ = 3 соответствует u₀ = 2, u₁ = 1: тогда uₙ = Lₙ для n ≥ 1, u₀ = 2 = L₀.
Памятка: два коэффициента, два старта, один номер. Не один шаг d.
Контроль n = 2: u₂ = a u₁ + b u₀. Для Фибоначчи 1·1 + 1·0 = 1 = F₂.
Итог: только uₙ, n до 80, именные ряды проще считать на своих страницах.
Чертёж: три клетки подряд, стрелки с двух левых на правую с весами a и b.
Хаб последовательностей собирает частные и общее правило.
Геометрия при b = 0
Если нет «дедушки» uₙ₋₂, ряд становится геометрическим с знаменателем a. Держите u₁ = a u₀, иначе первые два члена не согласованы с правилом.
Модели «каждый шаг смесь двух предыдущих состояний» в учебнике дискретной математики — прямое применение, без стохастики.
Не дифференциальное уравнение y'' = … Не a·bˣ с вещественным x.
Якорь: (1, 1, 0, 1, 10) → 55 и (1, 1, 2, 1, 10) → 123.
Родитель математика. Именные: Фибоначчи и Люка.
Нумерация с нуля
Поле называется u₀ не случайно. Если в тетради ряд начинается с u₁, сдвиньте: ваш u₁ → поле u₀, ваш u₂ → поле u₁, а n уменьшите на 1 — или пересчитайте старты.
Проверка Фибоначчи: n = 7 → 13. Если 21, лишний шаг.
Все пять входов должны участвовать в подстановке шагов. Нуль у u₀ — законный ввод, не «пустое поле».
n = 81 нельзя. Для огромных индексов нужна другая арифметика.
Сверьте геометрический случай с членом прогрессии.
Типичные ошибки
- Смешать нумерацию F₁ = 1 с u₀ = 1 вместо 0.
- Ждать, что страница найдёт a и b.
- Подставить одно линейное уравнение вместо ряда.
- Забыть, что при n = 0 коэффициенты не используются.
- Спутать Люка и Фибоначчи одними и теми же стартами.
Соседи: Фибоначчи, Люка, арифметический и геометрический члены.
Частые вопросы
- Какая рекуррента считается?
- uₙ = a · uₙ₋₁ + b · uₙ₋₂ при заданных u₀ и u₁. Для Фибоначчи: a = b = 1, u₀ = 0, u₁ = 1, n = 10 → 55.
- Что при n = 0 и n = 1?
- u₀ и u₁ возвращаются как есть, коэффициенты не нужны. n = 0 разрешён.
- Как получить числа Люка?
- Люка на своей странице: L₁ = 1, L₂ = 3. Здесь с нуля: u₀ = 2, u₁ = 1, a = b = 1, n = 10 → 123.
- Ищут ли a и b?
- Нет. Только uₙ по n. Коэффициенты и старты — ввод.
- Это арифметическая прогрессия?
- Арифметика — частный вид, если подобрать a, b и старты так, чтобы разность была постоянной. Обычно проще открыть страницу прогрессии.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.