Та же рекуррента, другой старт
Числа Люка складывают два предыдущих члена, как Фибоначчи, но второе число равно трём, не единице: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123. Путать ряды — самая частая ошибка этой страницы.
Контроль: n = 10 → 123; n = 5 → 11. Раздел: последовательности.
Справочник с L₀ = 2, L₁ = 1 даёт те же Lₙ при n ≥ 1, что и школьный старт L₁ = 1, L₂ = 3. Нуль страница не просит.
L₁ = 1, L₂ = 3
L₁ = 1, L₂ = 3, Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂
Поля L и n. Только прямой ход. Алгоритм — цикл сложения, без округления формулы через φⁿ.
n от 1 до 70. Дробный номер отклоняется.
Не Фибоначчи
Не F₁₀ = 55: здесь L₁₀ = 123. Не арифметика с постоянной разностью. Не треугольные.
Общие коэффициенты — рекуррента uₙ = a uₙ₋₁ + b uₙ₋₂. Для Люка в нумерации с нуля: a = 1, b = 1, u₀ = 2, u₁ = 1, n = 10 → 123.
Простоту полученного L проверьте на странице простых, если задача про это.
Как пользоваться
Введите n. Прочитайте Lₙ. Обратного поиска номера нет.
Родитель математика. Сравнить старт: Фибоначчи.
Примеры
1. Старт. n = 1 → 1. n = 2 → 3.
2. Пятое. n = 5 → 11.
3. Десятое. n = 10 → 123.
4. Запрет. n = 0 и n = 71.
5. Третье. n = 3 → 4, сумма 1 + 3.
Ещё проверки
Выпишите до L₇: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29. Если на третьем месте 2, вы считаете Фибоначчи.
Связь Lₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₊₁ при аккуратной нумерации Фибоначчи с нулём. Не обязательно пользоваться этим на уроке: достаточно рекурренты.
Якорь 123 для десятого. 55 — это F₁₀, не Люка.
L₆ = 18, не 13. 13 это F₇.
На общей рекурренте воспроизведите Люка: u₀ = 2, u₁ = 1, a = b = 1, n = 10. Ответ 123 совпадёт, нумерация с нуля.
Не ищите постоянный знаменатель: отношения Lₙ₊₁/Lₙ тоже идут к золотому сечению, но ряд не геометрический.
Потолок 70 тот же, что у Фибоначчи, по той же причине переполнения.
После L можно проверить простоту. Lₙ не всегда простое: L₆ = 18 составное.
Сдвиг «в коде с нуля» кладёт 2 первым элементом массива. Тогда индекс 10 в массиве — не L₁₀ этой страницы.
Сосед-треугольные числа не подставляйте: Tₙ растёт как n²/2, Люка — как φⁿ.
Школа: сосед Фибоначчи
Образ: два ряда с одним правилом «сложи соседей». Различаются только вторые клетки. Запомните 3 против 1.
Памятка: L₂ = 3. Если написали 1, 1 — вы на другой странице.
Контроль L₄ = 7. Не 5 (это F₅).
Итог: только L по n, старт 1 и 3, потолок 70.
Чертёж: цепочка как у Фибоначчи, над вторым кружком крупно «3».
Хаб последовательностей держит оба ряда рядом нарочно.
L₀ = 2 и нумерация
Энциклопедии часто печатают 2, 1, 3, 4, 7… Тогда «нулевой» равен 2. Школьный листок без нуля начинает с 1, 3. Для n ≥ 1 ответы совпадают.
Не биржевые «уровни Фибоначчи» и не музыкальные интервалы. Не арифметическая прогрессия.
Якорь: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123.
Родитель математика. Общий механизм: рекуррента 2-го порядка.
Цикл, не золотое сечение
Закрытая формула Lₙ = φⁿ + (1−φ)ⁿ для целых даёт целое, но на обычном числе страницы округлит раньше цикла. Поэтому сложение предыдущих.
Проверьте L₁₀ дважды: 123. Главный якорь против путаницы с 55.
Не вводите n = 100. Будет отказ.
Сверьте L₅ = 11 вручную: 1, 3, 4, 7, 11.
Фибоначчи для контраста: F₁₀ = 55.
Выпишите L₈ = 47 и L₉ = 76, сложите: 123 = L₁₀. Эта проверка ловит сдвиг индекса лучше, чем сравнение с таблицей в конце учебника.
Если в олимпиаде просят Lₙ mod m, эта страница модуль не считает: сначала целое L, затем остаток в тетради или на странице остатка, если число ещё маленькое.
Не подставляйте n в формулу n-го члена арифметики. Разность Люка растёт: 2, 1, 3, 4, 7 — уже не постоянно.
Памятка на полях тетради: «Люка — тройка второй». Пять слов против путаницы с единицами Фибоначчи.
Ряд Люка появляется в тождествах вроде Lₙ² − 5 Fₙ² = 4·(−1)ⁿ при согласованной нумерации. Страница тождество не проверяет: она только считает Lₙ. Если в задачнике просят именно такое равенство, F берите на соседней странице, L здесь, минус в тетради.
Не ищите «среднее» Lₙ и Fₙ как отдельную последовательность на этой странице. Для n = 3 среднее (4+2)/2 = 3 — случайное число, не правило ряда.
Типичные ошибки
- Написать вторым числом 1, как у Фибоначчи.
- Ждать L₁₀ = 55.
- Искать n по известному L.
- Смешать с треугольными из-за «фигурных» названий.
- Начать с L₀ = 2 и сдвинуть «десятое».
Соседи: Фибоначчи, линейная рекуррента, арифметический член, простота.
Частые вопросы
- Как нумеруют числа Люка здесь?
- L₁ = 1, L₂ = 3, дальше сумма двух предыдущих. L₅ = 11, L₁₀ = 123. Это не Fₙ: у Фибоначчи второе число тоже 1.
- Можно найти n по L?
- Нет. Страница считает только L по целому n от 1 до 70.
- Чем отличается от Фибоначчи?
- Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8… Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18… Рекуррента одна, старт разный.
- Это общая рекуррента?
- Линейная рекуррента задаёт любые a, b, u₀, u₁. Люка — частный случай a = b = 1 при старте 2, 1 в нумерации с нуля.
- Почему потолок 70?
- Дальше целое не помещается в безопасное число страницы без округления.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.