Сумма 1 + 2 + … + n
Треугольное число Tₙ — сколько точек в равностороннем треугольнике со стороной n, или сколько получится, если сложить первые n натуральных чисел. Формула Tₙ = n(n + 1) / 2 закрывает оба взгляда.
Контроль: n = 8 → 36. Ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36. Раздел: последовательности.
n = 1 даёт 1: один камень. n = 100 даёт 5050 — классическая сумма Гаусса для сотни.
Tₙ = n(n + 1) / 2
Tₙ = n(n + 1) / 2
Два поля: T и n. Обратный ход через квадратный корень. Подкоренное 1 + 8T должно быть неотрицательным.
Если учитель ждёт целое n, а калькулятор дал дробь, число T не треугольное. Например T = 5 не стоит в ряду 1, 3, 6, 10.
Не среднее и не Фибоначчи
Не среднее набора. Не Fₙ: там рекуррента, здесь квадрат по n. Не произвольная сумма прогрессии с d ≠ 1.
Не n-й член 1, 2, 3, 4: член равен n, треугольное — сумма членов. Не сочетания C(n, 2) в явном виде, хотя Tₙ = C(n+1, 2).
Как пользоваться
Пустым T или n. Номер натуральный до 10 000. Для суммы натуральных введите n. Для «какое n даёт T» введите T.
Родитель математика. Сосед-сумма с произвольными a и d: арифметическая сумма.
Примеры
1. Единица. n = 1 → T = 1.
2. Восьмое. n = 8 → 36.
3. Номер. T = 36 → n = 8.
4. Сотня. n = 100 → 5050.
5. Запрет. T = −1 при поиске n — отрицательное подкоренное.
Ещё задачи
Кегли в зале: 4 ряда дают 10 кеглей. n = 4, T = 10. Пятый ряд добавит 5, станет 15.
Рукопожатия n человек «каждый с каждым» — C(n, 2) = n(n − 1)/2, это почти треугольное, но Tₙ₋₁. Не подставляйте n в Tₙ, если формула с минусом.
Сумма 1+2+…+n на уроке Гаусса: пары n+1, таких пар n/2. Та же формула.
Сверьте с суммой прогрессии: a = 1, d = 1, то же n → то же S = Tₙ.
Якорь 36 для восьмёрки. 32 — не треугольное, корень даст нецелое n.
T₇ = 28, T₉ = 45. Между ними нет треугольного 36? Есть T₈. Ряд плотнеет с ростом n.
Не путайте с 55 для десятого Фибоначчи: T₁₀ = 55 совпало числом, смысл другой. T₁₀ = 55, F₁₀ = 55 — редкое совпадение, не правило.
Квадратные числа n² — другая фигура. 16 не треугольное (n выйдет дробным).
После T можно сравнить со средним первых n натуральных: среднее (n+1)/2, сумма n раз оно.
Большое n = 10 000 → T = 50 005 000. Дальше страница не идёт.
Школа: точки в треугольнике
Образ: первый ряд одна точка, второй две, третий три. Всего Tₙ. Переложите в прямоугольник n на (n+1) и разрежьте пополам.
Поэтому в формуле скобка n+1 и деление на 2. Не n²/2 без единицы.
Памятка: сумма натуральных, не произведение. Не рекуррента двух предыдущих T, хотя Tₙ = Tₙ₋₁ + n.
Контроль n = 2: T = 3. Две точки снизу, одна сверху.
Итог: два поля, корень для обратного n, отрицательный T нельзя.
Чертёж: точки рядами 1, 2, 3, 4.
Хаб последовательностей ставит треугольные рядом с арифметической суммой, чтобы был виден частный случай d = 1.
Кегли, рукопожатия, натуральный ряд
Боулинг на 10 кеглей — T₄. Расстановка «треугольником» в бильярде — тот же счёт.
Календарная задача «сколько дней с 1 по n включительно, если нумеровать подряд» — слишком буквально, но сумма дат 1+2+…+n снова Tₙ.
Не путайте с средним оценок. Не с общей рекуррентой.
Якорь: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.
Родитель математика. Член натурального ряда как прогрессия: aₙ = n при a = 1, d = 1.
Игра в «уголки» на бумаге: дорисовали n-й ряд из n клеток — всего Tₙ. Это не площадь треугольника bh/2 из геометрии: там длины сторон, здесь счёт точек.
Если в задаче «сколько шаров в пирамиде с квадратным основанием», это уже пирамидальные числа, не эта страница. Треугольные — плоский слой из точек, не объём.
Обратный корень
Для T = 36: 1 + 8·36 = 289 = 17², n = (−1 + 17)/2 = 8. Если 1 + 8T не полный квадрат, n нецелое.
Страница не округляет к ближайшему треугольному. Она решает квадратное как есть.
Проверка: подставьте найденное n обратно в n(n+1)/2.
n ограничен 10 000, чтобы T не раздувался без нужды.
Сосед для a ≠ 1: сумма прогрессии.
Типичные ошибки
- Написать n²/2 без (n + 1).
- Спутать Tₙ с n-м членом натурального ряда.
- Ждать целое n от нетреугольного T.
- Подставить формулу рукопожатий n(n − 1)/2 без сдвига.
- Смешать с Фибоначчи из-за совпадения T₁₀ = F₁₀ = 55.
Соседи: арифметическая сумма, арифметический член, Фибоначчи, среднее.
Частые вопросы
- Как найти треугольное число?
- Tₙ = n(n + 1) / 2. Для n = 8 получается 36. Это сумма первых n натуральных: 1 + 2 + … + 8 = 36.
- Как найти номер n?
- n = (−1 + √(1 + 8T)) / 2. Для T = 36 выходит 8. Если T не треугольное, n будет нецелым — так страница и покажет.
- Это сумма арифметической прогрессии?
- Да, частный случай суммы при a = 1, d = 1. Здесь один параметр n, без разности.
- Связь с Фибоначчи?
- Фибоначчи складывает два предыдущих члена. Треугольные складывают натуральный ряд. Числа разные: T₈ = 36, F₈ = 21.
- Почему T = −1 нельзя?
- Подкоренное 1 + 8T становится отрицательным. Треугольные числа для натурального n неотрицательны.
- Где хаб?
- Последовательности и математика.