Что такое кубический корень
Кубический корень ∛x — число y такое, что y³ = x. Калькулятор извлекает ∛x и умеет восстановить подкоренное x = y³. Раздел: алгебра.
Образ: ребро куба по известному объёму. Объём 8 → ребро 2. Объём 27 → ребро 3. Отрицательный «объём» в геометрии не рисуют, но в алгебре ∛(−8) = −2 законен: куб отрицательного числа отрицателен.
Рядом квадратный корень (вторая степень, неотрицательная область) и корень n-й степени для произвольного n. Степень без извлечения корня — aⁿ.
Калькулятор не ищет три комплексных корня уравнения y³ = x. Только действительный кубический корень: для каждого действительного x он один.
∛x и обратный куб
y = ∛x
Прямой ход: y = ∛x. Тесты: 8 → 2, −8 → −2. Обратный ход: x = y³, для y = 3 получается 27. Нуль: ∛0 = 0, 0³ = 0.
Нецелые значения: ∛2 ≈ 1,260. Калькулятор даёт действительное приближение, не «красивый» радикал в символах. Для точного ответа «∛2» в олимпиадной записи оставляйте радикал, если так требует учитель.
Связь со степенью: (∛x)³ = x и ∛(x³) = x для всех действительных x. Для квадратного корня второе равенство верно только при x ≥ 0, потому что √(x²) = |x|. В этом кубический корень проще квадратного.
Отрицательные числа
Нечётная степень сохраняет знак: (−2)³ = −8, поэтому ∛(−8) = −2. Чётный корень из отрицательного в действительных числах не определён — отсюда запрет на квадратном корне и на корне n-й степени при чётном n.
Не подменяйте ∛(−8) на −∛8 «из головы» без понимания: здесь это совпадает, потому что кубический корень нечётный. Для четвёртой степени такой трюк уже не про действительные числа.
В калькуляторе степени отрицательное основание с дробным показателем 1/3 может вести себя иначе из‑за способа вычисления степени. Для куба и кубического корня пользуйтесь этой страницей.
Не квадратный корень
√8 ≈ 2,828, ∛8 = 2. Разные операции. В формуле корней квадратного уравнения стоит √D, не кубический корень. Кардано для кубического уравнения y³ + py + q = 0 на эту страницу не вынесено: здесь только ∛x.
Логарифм тоже «снижает степень», но это показатель, не корень. log₂ 8 = 3 значит 2³ = 8, тогда как ∛8 = 2. Не путать «какой показатель» и «какой корень».
Как пользоваться
Введите подкоренное x и нажмите «Рассчитать» — получите y = ∛x. Чтобы найти x по известному корню, выберите подкоренное искомым и введите y.
Знак x сохраняется в знаке y. Нуль допустим. Отдельного поля «степень корня» нет: она всегда 3. Для n = 4, 5, … откройте корень n-й степени.
Примеры
Базовый. ∛8 = 2, проверка 2·2·2 = 8.
Отрицательный. ∛(−8) = −2, проверка (−2)³ = −8.
Обратный ход. y = 3 → x = 27. y = −3 → x = −27.
Единица. ∛1 = 1, ∛(−1) = −1.
Объём куба. V = 125 → ребро 5. Геометрия положительна; алгебраический минус для объёма не рисуют.
Не куб целого. ∛10 ≈ 2,154. Между 2³ = 8 и 3³ = 27.
Связь со степенью. 2³ = 8 на странице степени — прямая операция к этому корню.
Таблица кубов. 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000. Кубический корень из этих чисел — целые 1…10. Из 1000 корень 10, не 100: путают с квадратом 10² = 100 и корнем √100 = 10.
Между узлами. 20 лежит между 8 и 27, значит ∛20 между 2 и 3. Оценка 2,7: 2,7³ = 2,7·2,7·2,7 = 19,683 — близко к 20. Калькулятор уточнит без подбора кубов вручную.
Объём и масштаб. Если ребро увеличить в 2 раза, объём вырастет в 8 раз: (2y)³ = 8 y³. Обратно: чтобы объём вырос в 8 раз, ребро — только вдвое. Это и есть смысл кубического корня в геометрии куба, в отличие от площади квадрата и квадратного корня.
Не формула Кардано. Уравнение x³ + px + q = 0 школьный курс иногда показывает отдельно. Эта страница извлекает ∛ из одного числа, не раскладывает кубический трёхчлен и не ищет три корня. Для квадратного трёхчлена по-прежнему дискриминант и x₁, x₂.
Типичные ошибки
- Писать ∛8 = ±2: кубический корень один, не пара знаков. Знак «плюс-минус» у квадратного уравнения x² = 8.
- Запрещать отрицательное подкоренное по аналогии с √x.
- Считать ∛(a³ + b³) = a + b. Это неверно.
- Путать с логарифмом: log₈ 2 = 1/3, а ∛8 = 2.
- Искать корни кубического многочлена ax³ + bx² + cx + d = 0 одним нажатием ∛ — это другое уравнение.
Частые вопросы
- Чему равен кубический корень из 8?
- ∛8 = 2, потому что 2³ = 8. Калькулятор это показывает в базовом тесте.
- Можно ли извлечь кубический корень из отрицательного числа?
- Да. ∛(−8) = −2, так как (−2)³ = −8. В действительных числах кубический корень определён на всей оси.
- Это то же, что квадратный корень?
- Нет. √x требует x ≥ 0 и даёт неотрицательный ответ. Кубический — третья степень. См. квадратный корень и корень n-й степени.
- Как найти x, если известен кубический корень?
- Обратный ход: x = y³. Для y = 3 получите 27.
- Связан ли кубический корень со степенью 1/3?
- Да, x^(1/3) = ∛x для неотрицательных x. Отрицательные надёжнее считать через кубический корень, не через дробную степень. Степень общего вида — калькулятор степени.
- Нужен ли кубический корень в квадратном уравнении?
- Нет. Там квадратный корень из дискриминанта. Корни ax² + bx + c = 0 — квадратное уравнение. Полный многочлен третьей степени — кубическое уравнение.