Что такое логарифм
Логарифм y = log_b x — показатель, в который нужно возвести основание b, чтобы получить аргумент x. Иными словами, bʸ = x. Калькулятор считает y, умеет восстановить x = bʸ и основание b = x^(1/y).
Раздел: алгебра. Прямая операция — степень и показательная функция y = a·bˣ. Корни — квадратный, кубический, n-й степени.
Десятичный логарифм — основание 10: log₁₀ 100 = 2. Двоичный — основание 2: log₂ 8 = 3. Натуральный — основание e, в калькуляторе он служит внутренним мостом: любой log_b x = ln x / ln b.
Логарифм сжимает порядки: от 1 до 1 000 000 по основанию 10 это всего 6. Поэтому им пользуются в шкалах, где величины живут на многих порядках, не только в школьном «найдите показатель».
log_b x = ln x / ln b
y = log_b x = ln(x) / ln(b)
Замена основания переводит любой логарифм к натуральному. Тест: ln(8)/ln(2) = 3. Та же идея с десятичным: log₁₀ 8 / log₁₀ 2 тоже 3. Калькулятор берёт ln, чтобы не плодить отдельные кнопки «lg» и «lb».
log_b b = 1, log_b 1 = 0 при допустимом b. log_b (bʸ) = y. Эти тождества — проверка ручного счёта: если «логарифм восьмёрки по двойке» не 3, ошибка в основании или аргументе.
Основание 0 < b < 1 даёт убывающую показательную: log_{1/2} 8 = −3, потому что (1/2)⁻³ = 8. Калькулятор это считает: ln(8)/ln(0,5) = −3. Не отбрасывайте основания меньше единицы — они законны, лишь бы не 1 и не ≤ 0.
Область: x > 0, b > 0, b ≠ 1
Аргумент строго положительный: ln x определён при x > 0. Основание положительное и не единица. Тест b = 1 для x = 8 даёт деление на ln(1) = 0 — ошибка. Основание отрицательное в действительных числах не используют: (−2)ʸ прыгает по знакам и не покрывает любой x > 0.
x = 1 всегда даёт 0 при допустимом b. x = b даёт 1. Приближение x к нулю справа уносит |y| на бесконечность: логарифм «уходит вниз» для b > 1.
Обратный ход: аргумент и основание
x = bʸ. Тест: y = 2, b = 10 → 100. Это прямая показательная операция, та же, что на странице степени при основании b и показателе y.
Основание b = x^(1/y) = ʸ√x. Тест: x = 100, y = 2 → 10. По сути это корень y-й степени из x. Нулевой y запрещён: 1/y не существует, и log_b x = 0 означает x = 1, основание тогда не восстановить.
Как пользоваться
Для y введите положительные x и b, b ≠ 1. Для x введите b и y. Для b введите x и y ≠ 0. Подстановка покажет отношение логарифмов или степень.
Не путайте поля: основание — во что возводят, аргумент — что хотят получить. log₂ 8 не равен log₈ 2: второе есть 1/3.
Примеры
Двоичный. log₂ 8 = 3. Проверка 2³ = 8.
Десятичный. log₁₀ 100 = 2, обратный ход x = 10² = 100.
Основание обратным ходом. 100 при показателе 2 → b = 10.
Запрет основания 1. log₁ 8 не существует.
Основание 1/2. log_{1/2} 8 = −3.
Единица. log₅ 1 = 0 для любого допустимого основания 5.
Связь с ростом. Если y = 2ˣ, то x = log₂ y — показатель в показательной модели при a = 1, b = 2.
Произведение и сумма. log_b (xy) = log_b x + log_b y при положительных x, y. log_b (x/y) = log_b x − log_b y. log_b (xⁿ) = n log_b x. Эти тождества калькулятор сам не раскладывает: он считает одно значение log_b x. Раскрывать сумму или степень нужно в тетради, затем проверить числом.
Смена основания вручную. log₂ 10 = ln 10 / ln 2 ≈ 3,322. Десятичный lg 2 ≈ 0,3010, поэтому log₂ 10 = 1 / log₁₀ 2 ≈ 3,322 — та же замена. Калькулятор всегда идёт через ln, чтобы не держать отдельные таблицы lg и ln.
Между степенями двойки. 2³ = 8, 2⁴ = 16, значит log₂ 10 лежит между 3 и 4. Это оценка до нажатия кнопки: если получилось 2 или 5, перепутали основание с аргументом.
Не корень. log₈ 2 = 1/3, потому что 8^(1/3) = 2. Само число 1/3 — показатель, а 2 — уже кубический корень из 8. Запись «логарифм равен корню» без пояснения, чему равен, путает два разных ответа.
Типичные ошибки
- Писать log(a + b) = log a + log b. Верно для произведения, не суммы.
- Путать основание и аргумент: log₂ 8 = 3, log₈ 2 = 1/3.
- Брать логарифм нуля или минуса.
- Считать log_b b² = b. Правильно 2.
- Искать корень формулой логарифма без необходимости — для ⁴√16 быстрее корень.
Частые вопросы
- Как считается логарифм log_b x?
- Через замену основания: log_b x = ln(x) / ln(b). Для x = 8, b = 2 получается 3, потому что 2³ = 8.
- Почему основание не может быть равно 1?
- 1 в любой степени остаётся 1. Уравнения 1ʸ = 8 нет решения, а ln(1) = 0 — деление на ноль. Калькулятор останавливается.
- Можно ли взять логарифм отрицательного числа?
- В действительных числах нет. Аргумент x должен быть положительным. Комплексный логарифм эта страница не строит.
- Как найти x, если известен логарифм?
- x = bʸ. Для y = 2, b = 10 получите 100. Это обратная к логарифму показательная операция.
- Чем логарифм отличается от корня?
- Корень ищет y из yⁿ = x. Логарифм ищет показатель y из bʸ = x. См. корень n-й степени и степень.
- Где показательная функция a·bˣ?
- Модель роста y = a · bˣ — показательная функция. Натуральный логарифм без выбора основания — ln x. Уравнение a·bˣ = c — показательное уравнение.