Уравнение a · bˣ = c
Показательное уравнение в этой постановке: найти показатель x из a · bˣ = c. Раздел: алгебра.
Прямая модель «подставить x и получить y» — показательная функция. Здесь неизвестное в показателе. Логарифм как операция — log_b x и ln x. Степень без уравнения — степень.
Тесты: 2 · 3ˣ = 18 → x = 2, потому что 3² = 9, 2·9 = 18. 10ˣ = 100 → x = 2. Обратный ход 1 · 2³ = 8. Основание 1 запрещено.
Не путайте с кубическим многочленом: x в показателе, не x³. Кубическое — отдельная страница.
x = ln(c/a) / ln b
x = ln(c/a) / ln(b) при a · bˣ = c
c = a · bˣ
Делят обе части на a, берут логарифм: x ln b = ln(c/a). Нужны a ≠ 0, отношение c/a > 0 (иначе ln не существует в действительных), основание b > 0 и b ≠ 1.
Обратный ход считает c, не x: это проверка и задачи «значение выражения». Одна формула на цель, без второго выражения для x.
Не таблица показательной функции
На странице функции по умолчанию ищут y. Здесь по умолчанию ищут x. Формулы родственны, запросы разные: «сколько будет» против «на каком шаге получится c».
Как пользоваться
Приведите уравнение к виду a · bˣ = c. Если было 3ˣ = 18, то a = 1, b = 3, c = 18. Если 2^{x+1} = 16, сначала упростите в тетради (2·2ˣ = 16) или перепишите как 2ˣ = 8.
Для x введите a, b, c. Для c введите a, b, x. Знак a и c должен совпадать, чтобы частное было положительным.
Примеры
Базовый. 2 · 3ˣ = 18 → x = 2.
Десятки. 10ˣ = 100 → x = 2.
Обратный ход. 2³ = 8.
Основание 1. Нет решения для x.
Ещё уравнения
5ˣ = 1 → x = 0, потому что любая допустимая степень нуля даёт 1. В формуле ln(1/1)/ln 5 = 0. Не путайте с «корней нет»: единица в правой части — законный случай.
2ˣ = 1/8 → x = −3. Отрицательный показатель допустим. Правая часть положительна. Если правая часть −8, действительного x нет: 2ˣ > 0 всегда.
(1/2)ˣ = 8 → x = −3, потому что (1/2)⁻³ = 8. Основание между 0 и 1 законно, лишь бы не 1. Калькулятор берёт ln(1/2) < 0, знаки согласуются.
eˣ = 20 → x = ln 20. Можно сразу на странице ln, если a = 1 и b = e. Общий вид с произвольным b удобнее здесь.
4ˣ = 2^{x+3}. Приведите к одному основанию в тетради: (2²)ˣ = 2^{x+3} → 2x = x + 3 → x = 3, это уже линейное. Калькулятор показательного не делает замену основания за вас, если слева и справа разные этажи без вида a·bˣ = c.
Уравнение 3^{2x} = 81: это (3ˣ)² или 3^{2x} = (3²)ˣ = 9ˣ, либо 81 = 3⁴, 2x = 4, x = 2. В поля: a = 1, b = 9, c = 81 либо b = 3, c = 81 с показателем 2x — тогда сначала сведите к одному x.
Не решайте ax + b = c показательным логарифмом. Линейное — прямое деление, эта страница.
Рост «удвоить вклад»: 1 · (1,05)ˣ = 2 → x = ln 2 / ln 1,05. Это как раз наш вид. Проценты как ставка — арифметика, показатель шагов — здесь.
Проверка обязательна: нашли x = 2, посчитайте a·bˣ и сравните с c. Расхождение — перепутали основание и показатель или взяли lg вместо отношения ln.
b = 10, c = 0,001, a = 1 → x = −3. Научная запись 10⁻³. Саму мантиссу считает научная запись, показатель из уравнения — эта страница.
Два одинаковых основания в произведении 2ˣ · 2⁵ = 2^{x+5} снова сводят к линейному показателю. Калькулятор ждёт уже свёрнутый вид a·bˣ = c, не сумму показателей в разных полях.
Связь с степенью: если x известен, это просто степень. Уравнение нужно, когда x неизвестен. Не ищите x подбором на странице степени.
Итог: логарифм отношения, знаменатель ln b. Функция y = a·bˣ — сосед. Основание 1 и неположительное c/a — стоп.
Уравнение 9ˣ = 27. Оба — степени тройки: (3²)ˣ = 3³ → 2x = 3 → x = 1,5. В калькулятор: a = 1, b = 9, c = 27, ln(27)/ln(9) = 1,5. Либо b = 3, c = 27, но тогда это 3ˣ = 27, x = 3 — другое уравнение. Не подменяйте основание, не переписав правую часть.
Множитель a = −2, c = −18, b = 3: отношение (−18)/(−2) = 9 > 0, x = ln 9 / ln 3 = 2. Одинаковый знак a и c спасает. Разные знаки — ln отрицательного, стоп.
Сравнение с log_b x: при a = 1 уравнение bˣ = c есть в точности x = log_b c. Страница логарифма так и считает y. Показательное уравнение оставляет множитель a и обратный ход по c — поэтому отдельный адрес.
Не решайте (x + 1)³ = 8 как показательное: неизвестное в основании степени, это куб, кубический корень из 8 минус 1, или кубическое после раскрытия. Показательное — неизвестное только в показателе.
Типичные ошибки
- Писать x = c / (a b) вместо логарифма.
- Брать основание 1 или отрицательное b.
- Решать 2ˣ = −8 в действительных числах.
- Путать с поиском y на странице показательной функции.
- Забывать множитель a: решать 3ˣ = 18 как x = ln 18 / ln 3 без деления на 2.
Частые вопросы
- Как решить показательное уравнение a · bˣ = c?
- x = ln(c/a) / ln(b) при a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1 и c/a > 0. Для 2 · 3ˣ = 18 получите x = 2.
- Чем это отличается от показательной функции?
- Показательная функция считает y = a·bˣ. Здесь y известен как c, ищут показатель x.
- Почему основание 1 запрещено?
- 1ˣ всегда 1, уравнение a·1ˣ = c сводится к a = c без x. ln 1 = 0 — деление на ноль.
- Можно ли обойтись без натурального логарифма?
- Тот же x = log_b (c/a). Калькулятор идёт через ln. Сами ln и log_b — натуральный логарифм и логарифм.
- Как найти правую часть, если x известен?
- Обратный ход: c = a · bˣ. Для a = 1, b = 2, x = 3 получите 8.
- Это линейное уравнение?
- Нет. Неизвестное в показателе. Линейное ax + b = c — другая страница.