Разложение с повторами
Калькулятор раскладывает целое n ≥ 2 на простые множители. В ответе — сколько их с учётом кратности; в шагах — произведение. Раздел: теория чисел.
12 = 2 · 2 · 3, Ω = 3, наименьший простой 2. 13 само простое: Ω = 1, p₁ = 13. 100 = 2 · 2 · 5 · 5, Ω = 4. Единицу страница отклоняет.
Степенная запись 2²·3 — та же информация, свёрнутая. Калькулятор в шагах пишет произведение подряд, чтобы было видно каждый множитель.
n = p₁ p₂ … pₖ
n = p₁ p₂ … pₖ (простые, с повторами)
Алгоритм делит n на 2, пока делится, затем на нечётные 3, 5, 7, … до корня из оставшегося. Если в конце остаток больше 1 — это последний простой.
Для 360: 360 / 2 = 180 / 2 = 90 / 2 = 45, дальше 45 / 3 = 15 / 3 = 5. Итог 2·2·2·3·3·5, Ω = 6. Проверка умножением должна вернуть 360.
Ограничение n ≤ 10¹²: полный перебор до корня из триллиона ещё приемлем, дальше страница отказывается, а не «висит».
Что считает Ω
Большая омега Ω(n) — число простых множителей с повторами. Маленькая ω(n) считала бы различные: для 12 ω = 2 (только 2 и 3), Ω = 3. Здесь именно Ω, потому что шаги показывают повторы явно.
Простое даёт Ω = 1. Степень простого pᵏ даёт Ω = k: 81 = 3·3·3·3, Ω = 4. Это согласуется с проверкой простоты: p = 1 тогда и только тогда, когда Ω = 1.
Как пользоваться
Введите натуральное n от 2 до 10¹². Прочитайте Ω и наименьший простой. Раскройте шаги, чтобы скопировать произведение. Обратного хода «собрать n из множителей» на странице нет: это обычное умножение.
Примеры
Двенадцать. 12 = 2·2·3, Ω = 3, p₁ = 2.
Простое. 13 = 13, Ω = 1, p₁ = 13. Проверка простоты даст 1.
Сто. 100 = 2·2·5·5, Ω = 4. Делителей больше: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 — это τ = 9, не Ω.
Степень двойки. 32 = 2⁵ = 2·2·2·2·2, Ω = 5. Все делители — тоже степени двойки.
Единица. ошибка домена, не «пустое произведение 1».
Не простота и не НОД
Проверка простоты отвечает 0/1 и молчит о множителях. НОД берёт два или больше чисел. НОК из разложений — максимумы степеней, но готовое кратное быстрее считать на странице НОК.
Остаток 12 mod 5 = 2 не является множителем. Остаток — арифметика деления, не факторизация.
Ещё разложения
18 = 2·3·3, Ω = 3. 20 = 2·2·5, Ω = 3. 21 = 3·7, Ω = 2. 24 = 2·2·2·3, Ω = 4. 28 = 2·2·7. 45 = 3·3·5. 48 = 2⁴·3 = 2·2·2·2·3, Ω = 5. 72 = 2³·3², Ω = 5.
49 = 7·7, Ω = 2, p₁ = 7. 121 = 11·11. 169 = 13·13. Квадрат простого всегда Ω = 2 и не простое. 125 = 5·5·5, Ω = 3. 27 = 3³, Ω = 3. 8 = 2³, Ω = 3. Одинаковая Ω не значит одинаковую «форму».
210 = 2·3·5·7, четыре различных простых, Ω = 4 = ω. Такие числа свободны от квадратов. 60 = 2·2·3·5 уже с квадратом, Ω = 4, ω = 3. Калькулятор не печатает ω отдельно — смотрите, есть ли повторы в шагах.
Из 48 = 2⁴·3 и 18 = 2·3² общие 2¹·3¹ = 6 — это НОД(48, 18). НОК берёт 2⁴·3² = 144, не 48·18 = 864. Разложение объясняет, почему нельзя заменять НОК произведением.
999 = 3³·37. 1001 = 7·11·13 — классический пример трёх маленьких простых. 111 = 3·37. 143 = 11·13. Если «похоже на простое», сначала попробуйте деление на простые до 13.
2 048 = 2¹¹, Ω = 11. Степени двойки в информатике часто встречаются; страница всё равно пишет одиннадцать двоек произведением, не 2¹¹ в поле ответа. Числовой ответ — 11.
Связка с делителями: если n = pᵃ qᵇ, то τ(n) = (a+1)(b+1). Для 12 = 2²·3¹ получите 3·2 = 6 делителей — ровно как калькулятор делителей для 12. Так проверяют согласованность двух страниц.
900 = 2²·3²·5², Ω = 6. Это 30², полный квадрат: все показатели чётные. 901 уже другое число, не путайте с 900; введите отдельно. 998 = 2·499, если 499 простое, Ω = 2.
Факториалы дают длинные разложения: 10! содержит много двоек и пятёрок, но считать 10! нужно на странице факториала, а сюда подставляют уже готовое целое. Смешивать «разложить 10!» и «посчитать 10!» — две разные операции.
Проверка: перемножьте то, что написано в шагах. Если получилось не n, пропущен множитель или лишняя копия. Для 84 = 2·2·3·7 произведение 84, Ω = 4. Для 90 = 2·3·3·5 тоже Ω = 4, но набор другой. Одинаковая Ω не означает одинаковое число.
Типичные ошибки
- Ждать в поле ответа строку «2²·3» вместо числа Ω.
- Считать различные простые: для 12 ответить 2 вместо 3.
- Пытаться разложить 1 или 0.
- Спутать с числом делителей τ(n).
- Забыть проверку умножением множителей обратно в n.
Частые вопросы
- Что такое разложение на простые множители?
- Запись n как произведения простых, с повторами: 12 = 2 · 2 · 3. По основной теореме арифметики такая запись единственна с точностью до порядка.
- Почему для 12 ответ 3, а не 2·2·3?
- Числовое поле калькулятора — количество множителей с кратностью (Ω). Само произведение 2 · 2 · 3 написано в шагах решения.
- Почему единицу не раскладывают?
- У 1 нет простых множителей. Страница принимает только целые n ≥ 2.
- Чем это отличается от списка делителей?
- Множители — простые кирпичи. Делители — все произведения этих кирпичей: у 12 делителей шесть, а простых множителей с кратностью три.
- Можно ли увидеть наименьший простой делитель?
- Да, он выводится рядом как p₁. Для чётных это всегда 2.
- Как из разложения получить НОД двух чисел?
- Берут общие простые в минимальной степени. Для готового НОД пары удобнее калькулятор НОД, без ручного сравнения степеней.