Натуральные делители
Калькулятор находит все натуральные делители n ≥ 1 и считает, сколько их: это функция τ(n). Список печатается в шагах. Раздел: теория чисел.
Для 12 ответ 6 и список 1, 2, 3, 4, 6, 12. Для 1 ответ 1. Для простого 7 ответ 2 — только 1 и 7. Нуль отклоняется: делителей бесконечно.
Делитель — про остаток 0, не про «меньше половины». 12 делится на 12, поэтому само n всегда в списке.
Функция τ(n)
τ(n) — число натуральных делителей
Перебор идёт до √n: каждый маленький делитель i даёт пару n/i. Если n полный квадрат, корень добавляют один раз, не два. Потом список сортируют по возрастанию.
Для 36 корень 6: пары (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6). Итого 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — девять штук. Формула через разложение 36 = 2²·3²: τ = 3·3 = 9, совпадает.
Как получают список
Не нужно проверять каждое число до n. После √n новые маленькие делители не появляются: они уже учтены как «большие пары». Для 100 достаточно идти до 10.
Простое узнаётся сразу: кроме 1 и n ничего нет, τ = 2. Это согласуется с проверкой простоты (p = 1). Обратное почти верно: τ = 2 значит простое (для n ≥ 2).
Как пользоваться
Введите натуральное n от 1 до 10¹². Прочитайте τ и откройте шаги со списком. Обратного хода «найти n по числу делителей» нет: много чисел имеют одинаковое τ (все простые дают 2).
Примеры
Двенадцать. τ(12) = 6, список 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Единица. τ(1) = 1, список 1.
Семь. τ(7) = 2. Простое.
Нуль. ошибка, не «все целые».
Сто. 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 — девять делителей. Множители при этом 2·2·5·5.
Не множители и не НОД
Простые множители 12 — это 2, 2, 3, не 1 и не 4. Четвёрка делитель, но не простое. НОД(12, 18) = 6 — наибольший общий, не весь список 12.
НОК ищет общее кратное, то есть число, которое делится на оба аргумента, а не делители одного n. Взаимная простота смотрит, равен ли НОД единице, не перечисляя делители.
Ещё наборы делителей
τ(10) = 4: 1, 2, 5, 10. τ(16) = 5: 1, 2, 4, 8, 16 — степени двойки имеют τ = k+1 при n = 2ᵏ. τ(18) = 6: 1, 2, 3, 6, 9, 18. τ(24) = 8. τ(48) = 10. Больше n не всегда больше τ: 47 простое, τ = 2, меньше чем у 12.
Совершенное 6: делители 1, 2, 3, 6, сумма собственных 1+2+3 = 6. 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Страница не суммирует «совершенность», только список и τ. 496 сюда же по идее, но проверяйте вводом.
τ(p²) = 3: 1, p, p². Для 25: 1, 5, 25. Для 49: 1, 7, 49. Для 121: 1, 11, 121. Три делителя — характерный след квадрата простого, не «почти простое».
60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 — двенадцать штук. 60 = 2²·3·5, τ = 3·2·2 = 12. Удобно сверять формулу с перечислением, когда готовите таблицу.
Общие делители 12 и 18: пересечение {1, 2, 3, 6}, максимум 6 = НОД. Так эта страница помогает понять НОД, но не заменяет его для длинных списков.
Число 1 000 000 = 10⁶ = (2·5)⁶ = 2⁶·5⁶, τ = 7·7 = 49. Перечислять 49 строк утомительно вручную — калькулятор как раз для этого. 999 983 может оказаться простым: тогда τ = 2, список короткий.
Школьная «найти все делители 36» совпадает с примером выше. «Найти наибольший собственный делитель» — это n/p₁, наименьший простой из разложения: для 36 это 18. Не путайте с τ.
Парность τ: нечётное число делителей бывает только у полных квадратов (корень учитывается один раз). 36 — квадрат, τ = 9 нечётное. 12 не квадрат, τ = 6 чётное. Быстрая проверка, не доказательство «на глаз».
Задача «выписать делители 48» даёт 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 — десять значений, τ = 10. 48 = 2⁴·3, формула (4+1)·(1+1) = 10. Задача «наименьший простой делитель 48» — это 2, её считает разложение полем p₁, не τ.
Числа вида 2p, где p нечётное простое, имеют ровно четыре делителя: 1, 2, p, 2p. Примеры: 10, 14, 22, 26, 34. Если τ = 4, возможны ещё p³ (8 = 2³: 1, 2, 4, 8) и p·q с двумя различными нечётными простыми (15 = 3·5: 1, 3, 5, 15). Список в шагах сразу показывает, какой из трёх типов перед вами, без отдельной классификации.
Для подготовки к НОК полезно видеть кратные как «обратные делители», но кратные n на этой странице не строят. Кратные 12 — 12, 24, 36… Это ряд НОК, если ищете общее с другим числом, а не делители одного.
Типичные ошибки
- Забыть само n в списке или забыть 1.
- Вписать только простые делители, перепутав с разложением.
- Считать τ(n) = n/2.
- Подавать 0 или отрицательное.
- Ждать НОД двух чисел на этой странице — нужен НОД.
Частые вопросы
- Что такое делитель числа?
- Натуральное d, для которого n / d — тоже натуральное, то есть остаток нулевой. У 12 делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Что показывает ответ τ(n)?
- Сколько таких d. Список целиком — в шагах. Для простого τ = 2: единица и само число.
- Сколько делителей у 1?
- Один: сама единица. Это не простое число, но делитель есть.
- Почему нуль не принимают?
- У нуля бесконечно много делителей: любое ненулевое делит 0. Страница считает конечные списки для n ≥ 1.
- Как связаны делители и простые множители?
- Если n = pᵃ qᵇ …, то τ(n) = (a+1)(b+1)…. Разложение даёт формулу счёта; эта страница ещё и перечисляет сами d.
- Зачем делители, если есть НОД?
- НОД — наибольший общий из двух списков. Один список для одного n считает эта страница; пару чисел — НОД.