Когда числа взаимно просты
Калькулятор проверяет пару целых a и b: взаимно просты ли они. Ответ c = 1, если НОД равен 1, иначе 0. Рядом выводится сам d. Раздел: теория чисел.
8 и 15 → c = 1, d = 1. 12 и 18 → c = 0, d = 6. 1 и 20 → c = 1, d = 1. Это не проверка, простое ли каждое число по отдельности.
Взаимная простота — отношение двух аргументов. Одно число «взаимно простое» не бывает, нужен второй.
НОД(a, b) = 1
c = 1, если НОД(a, b) = 1
Считается обычный НОД алгоритмом Евклида, затем сравнивается с единицей. Если d = 1, c = 1; иначе c = 0. Для 12 и 18 цепочка остатков даёт 6, значит не взаимно просты.
Через разложение: общих простых быть не должно. У 8 только двойки, у 15 — 3 и 5, пересечение пустое. У 12 и 18 общая двойка и тройка.
Единица и любое n
НОД(1, n) = 1 всегда. Поэтому 1 и 20, 1 и 1, 1 и 1000 взаимно просты. Это не делает единицу простым числом — простота для 1 даёт 0.
Последовательные целые n и n+1 всегда взаимно просты: любой общий делитель делил бы и разность 1. 14 и 15, 99 и 100, 8 и 9 — все c = 1.
Как пользоваться
Введите два целых, включая нули и отрицательные. Прочитайте c и d. Нуль: НОД(0, 5) = 5, c = 0; НОД(0, 0) = 0, c = 0. Страница НОД умеет больше двух чисел; здесь ровно пара.
Примеры
Восемь и пятнадцать. c = 1, d = 1. Дробь 8/15 уже несократима.
Двенадцать и восемнадцать. c = 0, d = 6. Дробь 12/18 = 2/3 после деления на 6. Сложение таких дробей — в арифметике.
Единица и двадцать. c = 1, d = 1.
Семь и тринадцать. оба простые различные → c = 1. Достаточное, но не необходимое.
Девять и двадцать семь. d = 9, c = 0. Одно делит другое — точно не взаимно просты, кроме случая делителя 1.
Не «оба простые»
Простота проверяет одно n. Два составных могут быть взаимно просты (8 и 15) и два простых — тоже (7 и 13). Одно простое и его кратное — нет: 7 и 21, d = 7.
НОК для взаимно простых равен |a·b|. Для 8 и 15 кратное 120 совпадает с произведением. Для 12 и 18 произведение 216, НОК всего 36.
Ещё пары
4 и 9 — взаимно просты, хотя оба составные (квадраты разных простых). 25 и 49 — то же. 25 и 35 — нет, d = 5. 16 и 27 = 2⁴ и 3³, c = 1. 16 и 24, d = 8, c = 0.
35 и 18: 35 = 5·7, 18 = 2·3², пересечения нет, c = 1. 35 и 21, d = 7. 35 и 10, d = 5. Удобный ряд для устной проверки «есть ли общая пятёрка или семёрка».
Соседние Фибоначчи взаимно просты: 8 и 13, 13 и 21, 21 и 34. Калькулятору всё равно, откуда пара: он считает НОД. Страницы последовательности Фибоначчи здесь нет.
Сокращение отношения 48:18 → деление на 6 → 8:3. Признак c = 0 как раз говорит «сокращать можно». После сокращения 8 и 3 дают c = 1 — несократимый вид.
НОК и взаимная простота: если c = 1, наименьшее общее кратное не надо искать хитро — это модуль произведения. Проверка: 7 и 13, НОК = 91 = 7·13. Счёт кратного всё равно можно сверить на странице НОК.
−14 и 15: знаки отбрасываются, НОД(14, 15) = 1, c = 1. −12 и −18: d = 6, c = 0. Нуль и единица: НОД(0, 1) = 1, c = 1 — редкий случай, когда нуль «взаимно прост» с единицей.
Три числа 6, 10, 15 попарно не взаимно просты (d = 2, 3, 5), но НОД всех трёх равен 1. Эта страница пары не обобщает: для тройки смотрите НОД списка. Попарная взаимная простота — более сильное требование, здесь не проверяется сразу для трёх.
Прямоугольник 8 на 15 клеток не режется на одинаковые квадраты больше 1×1 — геометрический образ c = 1. Прямоугольник 12 на 18 режется на квадраты 6×6. Это та же делимость, не площадь: площадь считает геометрия, не эта страница.
Дробь 48/18 сокращается, потому что c = 0. После деления на 6 получается 8/3, и повторная проверка 8 и 3 даёт c = 1 — сигнал остановиться. Если снова c = 0, сократили не на полный НОД. Калькулятор как раз показывает d, чтобы сократить за один шаг, а не гадать.
Пара 9 и 16: нечётный квадрат и степень двойки, c = 1. Пара 9 и 27: одно делит другое, c = 0, d = 9. Пара 9 и 25: разные нечётные квадраты, c = 1. Три похожих «девятки» в первом числе и три разных исхода — напоминание не решать по внешнему виду.
Типичные ошибки
- Требовать, чтобы оба числа были простыми.
- Путать с проверкой одного n.
- Считать взаимно простыми, если оба нечётные (9 и 15, d = 3).
- Забыть, что 1 взаимно просто со всеми.
- Искать НОД трёх чисел здесь — нужен НОД с добавлением строк.
Частые вопросы
- Что значит «взаимно простые»?
- У двух целых нет общего делителя больше 1. Равносильно НОД(a, b) = 1. 8 и 15 взаимно просты, 12 и 18 — нет.
- Должны ли оба числа быть простыми?
- Нет. 8 = 2³ составное, 15 = 3·5 составное, но общих простых нет. «Оба простые» — достаточное условие только если это разные простые.
- Взаимно ли просты 1 и 20?
- Да. НОД(1, n) = 1 для любого целого n. Единица взаимно проста со всеми.
- Что ещё показывает калькулятор кроме 1/0?
- Сам НОД d. Если c = 0, по d видно, на сколько сокращается пара. Полный НОД списка чисел — на странице НОД.
- Как это связано с несократимой дробью?
- Дробь a/b несократима как раз когда числитель и знаменатель взаимно просты. Сокращение делит оба на НОД.
- Работает ли признак для отрицательных?
- НОД берут по модулю. Знаки a и b на взаимную простоту не влияют: −8 и 15 по-прежнему взаимно просты.