Три резистора треугольником или звездой
Три узла A, B, C. Треугольник: стороны R₁ против A, R₂ против B, R₃ против C. Звезда: из центра к узлам Ra, Rb, Rc. Эквивалент относительно трёх узлов: Ra = R₂ R₃ / (R₁+R₂+R₃). Раздел: цепи Кирхгофа.
Контроль: треугольник 3, 3, 3 Ом → звезда 1, 1, 1 Ом. Обратно 1, 1, 1 → 3, 3, 3. Неравные 6, 3, 2 Ом → Ra = 6/11 Ом, Rb = 12/11, Rc = 18/11. Это не «поделить каждую сторону на три» вслепую, если стороны разные.
Четвёртый резистор, ёмкость, источник внутри — не эта тройка.
Ra = R₂ R₃ / (R₁+R₂+R₃)
Ra = R₂ R₃ / (R₁+R₂+R₃) (треугольник → звезда)
Числитель — произведение сторон, сходящихся к узлу A (они же не равны R₁). Знаменатель — сумма всех трёх сторон. Extra отдаёт всю звезду. Обратный ход целится в сторону треугольника: в знаменателе луч звезды того узла, против которого сторона.
Все шесть величин строго положительны. Нуль луча при обратном ходе запрещён.
Не два подряд и не мост Уитстона
Не сумма омов. Не две ветви: здесь три узла, не два. Не Rx = R₂ R₃ / R₁ — похожий вид дроби, другой смысл: там нет суммы в знаменателе всех трёх. Не U = IR.
Тевенин потом, когда звезду уже вставили в большую схему и свернули к двум клеммам.
Как пользоваться
Треугольник → звезда: введите R₁ R₂ R₃, цель Ra (или Rb, Rc). Звезда → треугольник: Ra Rb Rc, цель R₁. Родитель электрика.
Сверьте подписи с чертежом. Путаница «R₁ к узлу A» вместо «против A» переворачивает ответ.
Примеры
1. Равный треугольник. 3, 3, 3 → звезда 1, 1, 1.
2. Равная звезда. 1, 1, 1 → треугольник 3, 3, 3.
3. Неравные. 6, 3, 2 → Ra = 6/11 Ом.
4. Rb из равных 10 Ом. 10/3 Ом.
5. Обратный R₂. звезда 2, 2, 2 → сторона 6 Ом.
Ещё задачи
Мост с перемычкой часто сводят, заменив один треугольник звездой, затем гирляндой и параллелью. Пропорция равновесия моста короче, если нужен только Rx при нуле. Для токов разбаланса преобразование полезнее.
Три резистора 30 Ом треугольником между фазами: звезда по 10 Ом к нейтрали. Не 30/√3 «как напряжение» — это омы, не вольты. Линейное и фазное — в переменном токе.
Проверка: сопротивление между A и B при открытом C. Треугольник: R₃ ∥ (R₁+R₂). Звезда: Ra+Rb. Для равных 3 Ом: 3∥6 = 2, звезда 1+1 = 2. Совпало.
Неравный контроль 6, 3, 2: между A и B, C открыт. Треугольник: R₃=2 параллельно (6+3)=9 → 2∥9 = 18/11. Звезда: Ra+Rb = 6/11+12/11 = 18/11. Совпадает.
Задача «заменить Δ 10, 20, 30 на Y». S = 60, Ra = 20·30/60 = 10, Rb = 10·30/60 = 5, Rc = 10·20/60 = 10/3. Не 10, 20, 30 «те же числа».
Обратно эти 10, 5, 10/3: P = 50 + 50/3 + 100/3 = 50 + 150/3 = 100, R₁ = 100/10 = 10. Возврат.
Не применяйте к конденсаторам теми же буквами: ёмкости в треугольнике-звезде имеют другие формулы (часто обратные). Здесь только резисторы.
Лаборатория: три магазина треугольником, измерьте между каждой парой при третьей свободной, сравните с Ra+Rb.
Сведение к Тевенину: после замены звездой последовательные куски складывайте суммой, параллельные — обратными.
Большие числа 1000, 1000, 1000 → звезда 1000/3. Не 333 без дроби, если нужна точность 1000/3.
Нулевая сторона треугольника: короткое против узла, звезда вырождается. Поля positive.
Четыре узла тетраэдра — не три. Сведите по шагам или не пользуйтесь страницей.
Школа: против узла
Памятка: луч звезды к узлу равен произведению двух сторон, сходящихся в этом узле, делённому на периметр-сумму сторон. Сторона «против» в числитель не входит.
Образ: треугольник дорог между городами, звезда — вокзал в центре. Сопротивление «вокзал — город» не сторона напротив города.
Чертёж: треугольник ABC, подписи сторон на противоположных рёбрах. Звезда — три луча из внутренней точки.
Итог: шесть имён, два направления преобразования, extra дописывает пару. Не путать с дробью моста без суммы.
Хаб цепей Кирхгофа держит топологию отдельно от равновесия моста.
Если в задачнике R12, R23, R31 — переименуйте: R₁₂ это сторона против C, значит R₃ в наших именах, если C напротив.
Единицы: все шесть — омы. Не кладите вольты узла в Ra.
Звезда обратно в треугольник
Сумма попарных произведений лучей делится на луч «того» узла. R₁ против A, поэтому делите на Ra.
Равные лучи a: сторона 3a. Равные стороны r: луч r/3. Запомните пару 3 и 1/3.
Родитель электрика. После преобразования токи в лучах — уже другая схема, считайте Омом и Кирхгофом.
Проверка туда-обратно обязательна на равных и на 6, 3, 2.
Не симметризуйте насильно: разные стороны остаются разными лучами.
Источник между узлами треугольника после замены остаётся между теми же узлами, не «переезжает в центр» сам.
Типичные ошибки
- Делить сторону на три при неравных резисторах.
- Путать «к узлу» и «против узла».
- Списать дробь моста без суммы трёх.
- Складывать три стороны как гирлянду и назвать звездой.
- Применять формулу резисторов к конденсаторам.
Соседи: последовательные и параллельные резисторы, мост Уитстона, закон Ома, Тевенин.
Частые вопросы
- Как перевести треугольник в звезду?
- Ra = R₂ R₃ / (R₁+R₂+R₃), где R₁ лежит против узла A. Три равных 3 Ом дают звезду по 1 Ом. Extra печатает Rb и Rc.
- Как обратно, звезда в треугольник?
- R₁ = (Ra Rb + Rb Rc + Rc Ra) / Ra. Три равных 1 Ом звезды дают треугольник по 3 Ом.
- Что значит «против узла»?
- Сторона треугольника, которая не касается этого узла. R₁ не инцидентна A, поэтому в числителе Ra стоят две другие стороны.
- Это последовательное соединение?
- Гирлянда складывает омы на одном токе. Здесь три узла и выбор, какая топология удобнее считать.
- Это мост Уитстона?
- Мост ищет Rx при нуле гальванометра. Преобразование помогает сводить сети, не заменяет пропорцию равновесия.
- Где хаб?
- Цепи Кирхгофа.
Источники
- Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество.
- BIPM. The International System of Units (SI).