Относительное удлинение стержня
Относительное удлинение ε показывает, какую долю составляет абсолютное изменение длины ΔL по сравнению с исходной длиной L. Формула ε = ΔL / L безразмерна: в числителе и знаменателе метры сокращаются.
Контроль: ΔL = 0,002 м при L = 1 м → ε = 0,002. Это не 0,2 % в поле ε и не 0,2 как «проценты без перевода». Хаб: прочность и деформации.
Отрицательное ΔL при сжатии даёт отрицательное ε в строгой записи; в задачах часто берут модуль удлинения и отдельно указывают «сжатие».
ε = ΔL / L
ε = ΔL / L
Три поля: ε, ΔL, L. Длины в метрах, миллиметрах или других согласованных единицах. Обратный ход: найти абсолютное удлинение или начальную длину.
Нулевая L ломает деление. ΔL = 0 допустимо: стержень не менял длину, ε = 0.
Не напряжение и не проценты
Не σ = F/A: напряжение требует силу и площадь. Не F = kΔx пружины: там жёсткость k, не отношение ΔL к L стержня произвольной формы.
Не подставляйте «0,2» когда имели в виду 0,2 %: правильная доля 0,002. Не путайте ε с углом поворота сечения при изгибе — здесь только осевое удлинение.
Не ΔL = FL/(AE): та страница связывает удлинение с силой и материалом; здесь чистая геометрия ΔL и L.
Как пользоваться
Измерьте или примите из условия L до нагрузки и ΔL после. Для малых деформаций ΔL = L_кон − L_нач. Оставьте одно поле пустым.
Если в задаче даны только проценты удлинения, переведите в долю: p % → ε = p / 100. 0,15 % → 0,0015.
Раздел: инженерия. Следующий шаг часто — модуль E при известном σ.
Примеры
1. Прямая. ΔL = 0,002 м, L = 1 м → ε = 0,002.
2. Абсолютное. ε = 0,002, L = 1 м → ΔL = 0,002 м = 2 мм.
3. Длина. ΔL = 0,002 м, ε = 0,002 → L = 1 м.
4. Запрет. L = 0 при поиске ε — ошибка.
5. Миллиметры. ΔL = 1,5 мм, L = 500 мм → ε = 1,5/500 = 0,003.
Ещё задачи
Стальной образец L = 0,1 м растянули на 0,05 мм: ΔL = 5·10⁻⁵ м → ε = 5·10⁻⁴. Это типичный порядок для упругой области.
Трос L = 20 м, прогиб середины не равен осевому ΔL: для ε нужно именно изменение длины по оси, не стрела провисания.
Термическое удлинение ΔL = α·L·ΔT: получили ΔL — делите на L здесь. α в задаче дан отдельно.
Если σ = 200 МПа и E = 2·10¹¹ Па, то ε = σ/E = 10⁻⁶ — проверка через модуль согласована с прямым измерением ΔL.
Связь с удлинением стержня: после расчёта ΔL из FL/(AE) можно проверить ε = ΔL/L на этой странице.
Контрольный якорь: 0,002 и 1 → 0,002. Удвоили ΔL при той же L — ε удвоилось.
Два стержня одинаковой L, разные ΔL — больше ε у того, кто больше растянулся. Сила тут не участвует.
Запись «ε = 2·10⁻³» и «2 мм на метр» — одно и то же число.
Не делите метры на миллиметры без перевода: 2 мм и 1 м → сначала 0,002 м и 1 м.
После ε и σ найдите E; после E и F — ΔL на странице удлинения.
Школа: доля изменения длины
Образ: резиновая лента 1 м растянули на 2 мм — изменили на две тысячных части, ε = 0,002. Проценты в быту — умножение на 100 для речи, поле ε — доля.
Чертёж: отрезок L, рядом короткий штрих ΔL, подпись «отношение без единиц».
Памятка: ε безразмерно; L в знаменателе не ноль; проценты переводим; не σ.
Малые ε: при ε «меньше» 0,01 линейная упругость часто ещё работает; предел зависит от материала, страница его не задаёт.
Контроль: ответ 0,2 вместо 0,002 — забыли делить проценты на 100 или перепутали мм и м.
Итог: ε = ΔL/L, три неизвестных, L положительна.
Сжатие: ΔL отрицательно, ε отрицательно в полной записи.
Хаб прочность связывает деформацию с напряжением.
Удлинение и сжатие симметричны по формуле через знак ΔL.
Мост, трос и термика
Мостовая ферма: инженер сравнивает расчётное ε с допустимым для материала. Число ε получают из модели или измерений, не из таблицы «на глаз».
Подвесной трос: если нагрузка меняется, меняется ΔL; ε = ΔL/L для оценки жёсткости системы вместе с силой.
Ж/б колонна при сжатии: сокращение длины даёт отрицательное ε; модуль величины идёт в сравнение с нормой.
Компенсатор температуры: ΔL только от нагрева — подставьте в ε = ΔL/L, силу пока не трогайте.
Якорь: 1 мм на 1 м = 10⁻³. 0,1 мм на 1 м = 10⁻⁴.
Связь с процентами: «удлинение 0,05 %» → ε = 0,0005.
Разные участки стержня с разной L не дают одного ε при одинаковом ΔL на весь стержень — считайте локально или для всей длины целиком.
Лабораторный образец с метками базы 50 мм: ΔL между метками делите на 50 мм, не на полную длину машины, если условие про базу.
Родитель: инженерия.
После ε при известном E находят σ на странице модуля или напряжения.
Экстенсометр и запись ε
Экстенсометр на базе 25 мм показывает ΔL между ножками; ε ≈ ΔL / 25 мм при малых полях. База и полная L — разные величины, читайте условие.
Оптический метод: две метки, ΔL по проекции. Ошибка измерения L влияет на ε сильнее при короткой базе.
Протокол: «L₀ = 100,0 мм, L = 100,2 мм, ΔL = 0,2 мм, ε = 2·10⁻³».
Цифровой датчик иногда выдаёт ε напрямую — можно проверить пересчётом ΔL/L.
Нулевая деформация до нагрузки: обнулите прибор, иначе ΔL завышен.
Типичные ошибки
- Записать 0,2 % как ε = 0,2 вместо 0,002.
- Делить на полную длину машины вместо базы экстенсометра.
- Путать ε с σ = F/A.
- Нулевая начальная длина L.
- Смешать миллиметры ΔL и метры L без перевода.
Соседи: нормальное напряжение, модуль Юнга, удлинение стержня, закон Гука пружины, проценты.
Частые вопросы
- Как найти относительное удлинение?
- ε = ΔL / L. Безразмерная доля: 2 мм на метре дают 0,002, не 0,2 и не «0,2 %» в поле ε.
- Чем отличается от напряжения?
- Напряжение σ = F/A — сила на площадь в паскалях. ε — только геометрия: насколько изменилась длина относительно исходной.
- Можно найти ΔL или L?
- ΔL = ε · L и L = ΔL / ε. Нулевая начальная длина L запрещена.
- Записывать в процентах?
- В калькуляторе ε — доля. 0,5 % = 0,005. Страница процентов — для долей в другом виде, поле ε ждёт число без знака %.
- Связь с модулем Юнга?
- E = σ/ε в упругой области. Сначала ε или σ, затем вторая величина.
- Где хаб?
- Прочность и деформации.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.