Нормальное напряжение в стержне
Нормальное напряжение σ показывает, как сильно растянута или сжата материал на единице площади поперечного сечения. Формула σ = F / A: сила F действует вдоль продольной оси бруса, троса или болта, а A — площадь именно того сечения, через которое «течёт» усилие.
Контрольный расчёт: 100 Н и площадь 0,01 м² дают σ = 10 000 Па = 10 кПа. Это не касательное напряжение среза и не жёсткость пружины. Раздел: прочность и деформации.
Напряжение — локальная характеристика. Один и тот же стержень при равномерном растяжении имеет одно σ по длине, если сечение постоянно. Сужение в середине — другая площадь, другой ответ.
σ = F / A
σ = F / A
Три поля: σ, F, A. По умолчанию паскаль, ньютон, квадратный метр. Обратный ход: найти силу или площадь. Нулевая площадь — ошибка ввода.
Сила берётся из закона F = ma или из условия равновесия задачи. Страница не подставляет массу вместо силы: килограммы в поле F недопустимы без умножения на g в тетради.
Не сдвиг и не пружина
Не касательное τ = F/A: там сила сдвига лежит в плоскости среза заклёпки или штифта. Не пружина F = kΔx: жёсткость k в ньютонах на метр — другая физическая величина.
Не гидростатическое давление жидкости в цилиндрическом баке: там нормаль к стенке, но формула p = ρgh и другая постановка. Не изгиб балки с моментом M — здесь только осевое растяжение или сжатие.
Не кручение вала τ = T r / J. Не коэффициент запаса: сначала σ, потом сравнение с допускаемым. Не изгиб σ = M y / I.
Как пользоваться
Оставьте пустым одно поле — калькулятор найдёт его. Укажите F вдоль оси: для тяжения знак положительный в учебной традиции, для сжатия иногда пишут модуль силы и отдельно говорят «сжатие».
Площадь A — геометрия сечения: круг πd²/4, прямоугольник b·h, кольцо π(R² − r²). Страница не строит чертёж: число вводите вы.
Единицы согласуйте: МПа = 10⁶ Па, мм² переводите в м² (1 мм² = 10⁻⁶ м²). Родительский хаб: инженерия.
Примеры
1. Прямая. F = 100 Н, A = 0,01 м² → σ = 100 / 0,01 = 10 000 Па.
2. Сила. σ = 10 000 Па, A = 0,01 м² → F = 100 Н.
3. Площадь. F = 100 Н, σ = 10 000 Па → A = 0,01 м².
4. Запрет. A = 0 при поиске σ — деление невозможно.
5. Масштаб. 50 кН и 250 мм²: A = 2,5·10⁻⁴ м² → σ = 50 000 / 0,00025 = 2·10⁸ Па = 200 МПа.
Ещё задачи
Стальной стержень d = 20 мм: A = π·0,02²/4 ≈ 3,14·10⁻⁴ м². При F = 31,4 кН σ ≈ 10⁸ Па = 100 МПа. Проверьте π и перевод миллиметров.
Два одинаковых троса делят нагрузку 2000 Н поровну: в каждом F = 1000 Н. Если A = 5 мм² = 5·10⁻⁶ м², σ = 2·10⁸ Па. Один трос — вся сила, напряжение вдвое больше.
Сжатие короткого бруска: F = 5000 Н, сечение 25 см² = 0,0025 м² → σ = 2·10⁶ Па = 2 МПа. Сжимающее напряжение часто пишут со знаком минус в курсе сопромата; модуль силы здесь достаточен для величины.
Связь с модулем Юнга: если известны σ и E, ε = σ/E на соседней странице. Сначала σ = F/A.
Связь с удлинением стержня: те же F и A участвуют в ΔL = FL/(AE). Напряжение — первый шаг цепочки.
Контрольный якорь: 100 и 0,01 → 10 000. Увеличили A в 10 раз — σ уменьшилось в 10 раз при той же силе.
Тонкий провод и толстый прут при одной силе: меньше A — больше σ. Поэтому трос рвут там, где сечение меньше.
Не путайте длину стержня L с площадью. Длина нужна для деформации ε = ΔL/L, не для σ = F/A.
Динамическая нагрузка в задачнике часто дают как «эквивалентную статическую» F — подставляйте то число, которое указано в условии.
После σ перейдите к коэффициенту запаса, если известно допускаемое [σ] из норм или методички.
Школа: сила на площадь
Образ: множество стрелок тянут за грань воображаемого кубика материала. Суммарная сила F делится на площадь грани A — получается «напряжённость» растяжения σ.
Аналогия с давлением на подушку: большая сила на маленькой площади ощущается сильнее. Здесь строго: σ = F/A в паскалях.
Памятка: F вдоль оси; A — поперечное сечение; не диаметр вместо площади; не касательная составляющая.
Единица паскаль — один ньютон на квадратный метр. Мегапаскаль удобен для стали: 200 МПа = 200·10⁶ Па.
Контроль: если забыли перевести мм² в м², ответ «улетит» на шесть порядков. 10 мм² — это 10⁻⁵ м², не 10.
Итог: σ = F/A, три неизвестных, нулевая A запрещена. Соседи — деформация, модуль, запас.
Чертёж в тетради: стержень, стрелка F вдоль, поперечное сечение заштриховано — подпись A.
Растяжение и сжатие дают одну формулу по модулю силы; знак σ уточняйте по принятой в курсе договорённости.
Хаб прочность собирает всю цепочку от силы до удлинения.
Трос, болт и сечение
Лифтовой трос: масса кабины переводится в силу через g, затем σ = F/A по металлическому сечению жил. Запас по коэффициенту n задаётся нормами отдельно.
Болт М12: полезная площадь резьбы меньше номинала по справочнику — в задаче часто дают A готовым числом. Подставляете его в σ = F/A.
Композитный стержень: если условие «напряжение одинаково» по сечению из одного материала, формула та же. Сложные схемы — вне этой страницы.
Температура и предварительная натяжка болта меняют F; σ пересчитывают при новой силе. Страница не учитывает тепловое расширение автоматически.
Два материала в параллельных стержнях при общем удлинении — разные σ при разных A и E; здесь один стержень, одна пара F и A.
Якорь: 100 Н на 1 см² = 100 Н / 10⁻⁴ м² = 10⁶ Па = 1 МПа. Удобно для прикидок.
Связь с процентами: «напряжение выросло на 20 %» — сравнение двух σ, не подстановка процента в формулу F/A.
Разрывная машина измеряет F и ΔL; σ считают, зная A образца. Лабораторный протокол: сначала геометрия сечения.
Короткий стержень сжатия: формула σ = F/A верна до потери устойчивости; устойчивость Эйлера — другой раздел сопромата.
Родитель: инженерия. Сосед сила напоминает различать массу и ньютоны.
Разрывная машина и единицы
Образец-плоскость с меткой длины L₀ и шириной b, толщиной t: A = b·t. При растяжении фиксируют F_max, σ_max = F_max/A.
Микрометр измеряет диаметр проволоки d; A = πd²/4. Три измерения d по разным направлениям — среднее перед расчётом.
Запись в протоколе: «σ = 156 МПа при F = 12,1 кН, A = 77,6 мм²». Перевод мм² обязателен.
Датчик силы калибруют в ньютонах; не подписывайте «кгс» в поле F без перевода.
После разрушения измеряют площадь надлома — для анализа другая задача; рабочее σ считали по начальному A.
Типичные ошибки
- Подставить диаметр d вместо площади A.
- Смешать мм² и м² без перевода.
- Взять силу сдвига для формулы нормального напряжения.
- Перепутать с жёсткостью пружины k.
- Нулевая площадь сечения.
Соседи: касательное напряжение, деформация, модуль Юнга, удлинение стержня, коэффициент запаса.
Частые вопросы
- Как найти нормальное напряжение?
- σ = F / A. Сила направлена вдоль оси стержня, A — площадь поперечного сечения. 100 Н и 0,01 м² дают 10 000 Па.
- Чем отличается от касательного?
- Касательное τ = F/A — сила лежит в плоскости среза. Здесь F перпендикулярна сечению, тянет или сжимает вдоль оси.
- Можно найти силу или площадь?
- F = σ · A и A = F / σ. Нулевая площадь запрещена: деление на ноль.
- Это давление в ёмкости?
- Нет. Гидростатическое давление p = ρgh — другая задача. Здесь механическая сила на сечение стержня или троса.
- Связь с деформацией?
- Относительное удлинение ε, модуль E и удлинение ΔL = FL/(AE) — соседние страницы.
- Где хаб?
- Прочность и деформации и инженерия.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.