Нормальное напряжение при изгибе
Когда балку, брус или полку гнут, в сечении возникают нормальные напряжения σ: сжатие с одной стороны нейтральной оси, растяжение с другой. Формула Навье σ = M y / I связывает изгибающий момент M, расстояние y от нейтральной оси до волокна и осевой момент инерции сечения I. На крайних волокнах |σ| обычно максимально.
Контрольный расчёт: M = 200 Н·м, y = 0,05 м, I = 10⁻⁵ м⁴ → σ = 200·0,05 / 10⁻⁵ = 10⁶ Па = 1 МПа. Это не осевое растяжение σ = F/A и не кручение τ = T r / J. Раздел: прочность и деформации.
Изгиб — основа расчёта балок перекрытий, двутавров, деревянных настилов и полок стеллажей. Сначала находят M из схемы опор и нагрузок, I — по геометрии, y — до опасного волокна.
σ = M y / I
σ = M y / I
Четыре поля: σ, M, y, I. По умолчанию паскаль, ньютон-метр, метр, метр в четвёртой степени. Обратный ход: момент, расстояние или I. Нулевой I запрещён.
M — изгибающий момент в сечении, где считаете σ. Страница не выводит M из равномерной нагрузки q и пролёта ℓ: qℓ²/8 для шарнирной балки считаете в тетради, число M вводите вы.
I — момент инерции площади относительно нейтральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба. Для прямоугольника b×h I = b h³ / 12, h — сторона, перпендикулярная оси изгиба. Здесь I — входное число.
Не ось и не кручение
Не осевое σ = F/A: стержень тянут вдоль оси — одно σ по сечению при равномерном растяжении, без M и y. Не кручение τ = T r / J: там крутящий момент T и полярный J, касательные напряжения.
Не касательное среза τ = F/A: поперечная сила в балке даёт τ среза — другая формула, не σ = M y / I. Не пружина F = kΔx: жёсткость пружины — другая задача.
Не I = m r² материальной точки в кг·м² — динамика вращения, не момент инерции площади сечения в м⁴. Не крутящий момент T вместо M без смены формулы: изгибающий M и T — разные постановки.
Не коэффициент запаса: сначала σ, потом n = [σ]/σ. Не удлинение ΔL = FL/(AE) вместо изгибной σ — удлинение при осевой нагрузке, другая цепочка.
Как пользоваться
Оставьте пустым одно поле. M в Н·м: знак в учебнике часто уточняют для направления изгиба; для модуля σ достаточно положительных M, y, I.
y — расстояние от нейтральной оси до волокна в метрах. Прямоугольник высотой h, ось изгиба горизонтальна через центр: y на верхнем волокне = h/2. Не путайте y с полной высотой h.
I в м⁴ из формулы прямоугольника или справочника для двутавра. Единицы: МПа = 10⁶ Па. Хаб: инженерия.
Примеры
1. Прямая. M = 200 Н·м, y = 0,05 м, I = 10⁻⁵ м⁴ → σ = 200·0,05 / 10⁻⁵ = 10⁶ Па.
2. Момент. σ = 10⁶ Па, y = 0,05 м, I = 10⁻⁵ м⁴ → M = σ I / y = 200 Н·м.
3. Момент инерции. M = 200 Н·м, σ = 10⁶ Па, y = 0,05 м → I = M y / σ = 10⁻⁵ м⁴.
4. Расстояние y. M = 200 Н·м, σ = 10⁶ Па, I = 10⁻⁵ м⁴ → y = σ I / M = 0,05 м.
5. Запрет. I = 0 при поиске σ — деление невозможно.
Ещё задачи
Деревянный брус b = 0,12 м, h = 0,1 м: I = b h³ / 12 = 0,12·0,1³/12 = 10⁻⁵ м⁴. M = 200 Н·м, y = h/2 = 0,05 м → σ = 10⁶ Па — совпадает с контрольным якорем.
На нейтральной оси y = 0 → σ = 0. Максимум |σ| на y = h/2 для симметричного прямоугольника.
Двутавр: I и y до полки берут из справочника готовыми. M из статики пролёта — отдельный расчёт.
Две балки одного сечения: меньше M — меньше σ. Удвоили M при тех же y и I — σ удвоилось.
Связь с модулем E: кривизна и прогиб используют те же M и I; σ = M y / I — локальное напряжение в волокне.
Не подставляйте F = m a вместо M: изгибающий момент — M = F·a для силы с плечом, единица Н·м.
Консольная балка: M_max на заделке — число из qℓ²/2 или Fℓ; подставляете M, не просите страницу считать ℓ.
Сжатие и растяжение в изгибе: на одной стороне σ положительное, на другой отрицательное в традиции знаков; модуль |σ| сравнивают с [σ].
После σ — запас при известном [σ]. Деформация ε = σ/E на соседних страницах.
Совмещение с осевым F/A: при растянутом изгибе σ суммируют по правилам сопромата; здесь только изгибная составляющая.
Школа: нейтральная ось
Образ: линейка на края двух пальцев: верхнее волокно сжимается, нижнее растягивается. Нейтральная ось — линия без изменения длины, σ = 0. Чем дальше y от неё, тем больше |σ|.
Аналогия с резинкой, согнутой дугой: внутренний радиус короче, наружный длиннее — напряжения по σ = M y / I.
Памятка: M в Н·м; y от нейтральной оси; I в м⁴; не F/A; не Tr/J; M не из qℓ²/8 на странице.
Единица Па. Мегапаскаль удобен для стали: 200 МПа = 200·10⁶ Па.
Контроль: подставили полную h вместо y = h/2 — σ завышено вдвое. Перепутали I с J круга — другая задача.
Итог: σ = M y / I, четыре неизвестных, I = 0 запрещён. Соседи — I прямоугольника, осевое, кручение, запас.
Чертёж: балка, опоры, M в сечении, нейтральная ось, y до верхнего волокна.
Линейное распределение σ по y в упругой зоне — основа формулы; пластика и локальная потеря устойчивости — другие разделы.
Хаб прочность связывает изгиб с деформациями и модулем.
Балка, полка и брус
Перекрытие: M_max в середине пролёта из таблицы или статики — вводите M. I двутавра №20 — из сортамента, y до полки — из чертежа.
Полка стеллажа: короткий консольный вылет, M на заделке, прямоугольное сечение — I через b h³ / 12.
Доска на ребро и на пласть: разные I и y при той же нагрузке — σ различается. Ориентация сечения решает.
Мостовая балка: несколько сечений — σ считают там, где M и y дают максимум.
Якорь: 200, 0,05 и 10⁻⁵ → 10⁶ Па. Удобно проверять порядок величины.
Дерево: [σ] ниже, чем у стали — после σ сравнивают с табличным допуском через запас.
Температура и влажность меняют E и иногда [σ]; M и I от этого не меняются, σ = M y / I пересчитывают при новом M.
Родитель: инженерия. Кручение — отдельная проверка вала, не замена изгибной σ.
Требование σ «меньше» [σ] — типовой критерий прочности после расчёта.
Сварная двутавровая балка: I эффективного сечения — если в задаче дано I, подставляйте без самостоятельного учёта шва.
Четырёхточечный изгиб
Образец-брус на двух опорах, нагрузка в третьях или четверках — M в чистом изгибе между силами. σ на нижнем волокне σ = M y / I.
Измеряют b, h, считают I = b h³/12 в протоколе, y = h/2. M из силы и плеча. Сравнивают σ с показаниями тензодатчика.
Запись: «σ = 8,2 МПа при M = 41 Н·м, y = 0,004 м, I = 2,0·10⁻⁸ м⁴». Перевод мм в м обязателен.
Не путайте M в лабораторной схеме с T кручения — разные установки.
После разрушения анализ другой; расчётный σ — по начальным b, h, M.
Типичные ошибки
- Подставить осевое σ = F/A вместо M y / I.
- Взять y = h вместо y = h/2 до крайнего волокна.
- Ждать расчёт M = qℓ²/8 на странице.
- Перепутать I сечения с I = m r² точки.
- Нулевой I или перепутать I с J при кручении.
Соседи: момент инерции прямоугольника, осевое напряжение, кручение, модуль Юнга, коэффициент запаса, деформация.
Частые вопросы
- Как найти σ при изгибе балки?
- σ = M y / I. M — изгибающий момент в Н·м, y — расстояние от нейтральной оси до волокна, I — момент инерции сечения в м⁴. M = 200 Н·м, y = 0,05 м, I = 10⁻⁵ м⁴ → σ = 10⁶ Па.
- Чем отличается от σ = F/A?
- Осевое σ = F/A — растяжение вдоль оси стержня. Здесь балку гнут: M и расстояние y от нейтральной оси, не одна сила на площадь.
- Страница считает M из qℓ²/8?
- Нет. Изгибающий момент M вводите готовым из статики пролёта. Распределённая нагрузка и длина балки здесь не подставляются.
- Что такое y?
- Расстояние от нейтральной оси до точки, где ищете σ. Для симметричного прямоугольника часто y = h/2 — половина высоты до крайнего волокна.
- Откуда взять I?
- I = b h³ / 12 для прямоугольника — соседняя страница. Число I в м⁴ подставляете вы; калькулятор изгиба I из размеров не строит.
- Где хаб?
- Прочность и деформации и инженерия.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.