Инерция вращения одной точки
Момент инерции материальной точки относительно оси — мера того, насколько трудно раскрутить эту точку вокруг оси. Формула I = m r². Больше масса или дальше от оси — больше I. Два килограмма на трёх метрах дают 18 кг·м². Та же масса на оси даёт ноль: крутить нечего, точка уже «на стержне вращения». Разделы: импульс и энергия вращения.
Модель точки законна, когда размеры груза малы по сравнению с r: шарик на конце лёгкого стержня, грузик на нити конического маятника в грубой оценке, точечная масса в учебной задаче. Большой шар, диск, цилиндр, стержень — протяжённые тела, у них I собирают интегрированием или берут из таблицы, не этой строкой вслепую.
Ось важна. r — кратчайшее расстояние до оси, не «длина нити наискосок» и не диаметр. Сместили ось — изменился r, изменился I. Теорема Штейнера для протяжённого тела сюда не встроена: одна точка, одна ось, один r.
I = m r²
I = m r²
Три величины. Обратный ход: m = I / r², r = √(I / m). Масса положительна. r может быть нулем: тогда I = 0. Искать m при r = 0 и I = 0 бессмысленно (любая масса на оси даёт ноль). Искать m при r = 0 и I ≠ 0 невозможно.
Килограммы и метры. Сантиметры в поле метров занижают I в 10⁴ раз: r = 20 см это 0,20 м, r² = 0,04, не 400. Граммы вместо килограммов — ещё множитель 0,001. Для 200 г на 20 см правильная подстановка 0,2 кг и 0,2 м, I = 0,008 кг·м², не 800.
Точка на оси не крутится «вкладом»
r = 0 → I = 0 при любой массе. Представьте бусину, нанизанную на неподвижную ось: поворот оси бусину не уводит в сторону, кинетическая энергия вращения этой бусины нулевая. Вся инерция вращения системы сидит в массах, далёких от оси.
Отсюда практический вывод: перенести груз ближе к оси легче раскрутить систему. Фигурист делает это руками, но у фигуриста I всего тела, не одной точки. Для одной учебной точки: было m = 4 кг при r = 0,5 м, I = 1 кг·м²; прижали к оси до 0,1 м — I = 0,04 кг·м², в 25 раз меньше, потому что r².
Две точки на одном стержне: I складывают, I = m₁ r₁² + m₂ r₂². Калькулятор одной точки сумму не строит. Посчитайте каждую и сложите в тетради. Не берите «среднее r» и суммарную массу, если расстояния разные: 1 кг на 1 м плюс 1 кг на 3 м это 1 + 9 = 10, а не 2 · 2² = 8.
Не диск, не стержень, не обруч вслепую
Однородный диск (цилиндр) относительно оси через центр, перпендикулярной плоскости: I = ½ m R². Если подставить «как точку на ободе» m R², завысите вдвое. Шар относительно диаметра — 2/5 m R². Стержень относительно центра, перпендикулярно длине — 1/12 m L²; относительно конца — 1/3 m L². Ни одного из этих коэффициентов страница не ставит.
Тонкий обруч (кольцо) относительно оси через центр, перпендикулярной плоскости обруча: вся масса на расстоянии R, поэтому I = m R². Число как у точки массы m на том же R. Смысл другой: обруч — континуум точек на окружности, точка — один груз. Обруч относительно диаметра уже ½ m R². Не хватайте m r² на любой обруч и любую ось.
Груз на невесомом стержне длины L, ось в другом конце: груз как точка, r = L, I = m L². Сам стержень, если у него есть масса, добавит своё I. Задача «невесомый стержень и точечный груз» — как раз эта страница. Задача «однородный стержень без груза» — нет.
Не путать r с диаметром. Обод диаметром 1 м имеет r = 0,5 м, I точки на ободе m · 0,25, не m · 1. Подставить диаметр как r — ошибка вчетверо по I.
Зачем I в кинетической энергии
Поступательная Eₖ = m v² / 2 берёт массу. Вращательная Eₖ = I ω² / 2 берёт момент инерции. Роль I — «масса вращения». Для точки v = ω r, поэтому I ω² / 2 = m r² ω² / 2 = m v² / 2: согласовано с поступательной энергией той же точки по дуге.
Момент импульса L = I ω тоже кормится этим I. Момент силы M = I α — тем же I. Один раз посчитали I точки — дальше три соседние формулы. Линейный p = m v I не использует: это другой язык.
F = ma для точки вдоль касательной связан с α через a = α r, но I в F = ma явно не стоит. Не заменяйте m на I в законе Ньютона «для солидности».
Как пользоваться
Выберите I, массу или расстояние до оси. Введите две известные. Ось одна, r перпендикулярен оси. Для груза «на конце метровой невесомой спицы» r = 1 м, не 0,5 м «до середины спицы»: масса спицы ноль, вся инерция в грузе на конце.
Не ищите здесь диск, шар, цилиндр, стержень. Не ищите параллельный перенос оси. Не вводите ω и энергию: их считают после I. Если известны Eₖ вращения и ω, сначала I = 2 Eₖ / ω² на энергетической странице, затем при известном r можно вернуться сюда за массой.
Нулевой r — допустимый ввод для I. Получите 0. Это не ошибка программы, это физика точки на оси. Если лабораторно «I чуть не ноль», груз не идеально на оси или ось не математическая прямая.
Два груза на противоположных концах невесомой штанги длины 2 м, ось посередине: каждый r = 1 м. При 3 кг и 3 кг суммарно I = 3·1 + 3·1 = 6 кг·м². Калькулятор вызовите дважды по 3 кг·м² и сложите. Не ставьте r = 2 м и m = 6 кг: вышло бы 24, вчетверо больше правды.
Пример: 2 кг на 3 м и груз на оси
m = 2 кг, r = 3 м → I = 18 кг·м². Обратный ход: I = 18, r = 3 → m = 2. I = 18, m = 2 → r = 3. Проверка r²: 9, 2·9 = 18.
Та же масса на оси: r = 0, I = 0. Та же масса на r = 1 м: I = 2 кг·м² — в девять раз меньше, чем на 3 м, потому что 3² / 1² = 9. Удвоить r при той же массе — учетверить I. Удвоить массу при том же r — удвоить I. Дальше от оси выгоднее «набирать инерцию», чем просто класть килограммы на то же место.
Сравнение с диском. Диск 2 кг радиуса 3 м имел бы I = ½ · 2 · 9 = 9 кг·м² относительно своей оси. Точка 2 кг на r = 3 м — 18. Обруч 2 кг радиуса 3 м в «плоской» оси — снова 18, но это кольцо, не точка. Если в задаче нарисован шарик на длинной нити и нить невесома — берите 18, не 9.
Энергия: I = 18 кг·м², ω = 2 рад/с → Eₖ = 18 · 4 / 2 = 36 Дж. Линейно у той же точки v = 6 м/с, m v² / 2 = 2 · 36 / 2 = 36 Дж. Сошлось. Импульс точки p = 12 кг·м/с — другая величина, её считает p = mv, не I.
Обратный ход на массу: I = 0,5 кг·м², r = 0,5 м → m = 0,5 / 0,25 = 2 кг. Если по ошибке взяли ½ m r² и «подогнали» массу, получите вдвое больше. Для точки половины нет.
Типичные ошибки
- Взять I = ½ m r² от диска для точечного груза.
- Подставить диаметр вместо расстояния до оси.
- Смешать сантиметры и метры в r².
- Считать, что обруч и точка — всегда одна задача без оговорки оси.
- Взять формулу стержня 1/12 m L² для груза на конце невесомой спицы.
- Усреднить разные r двух грузов и умножить суммарную массу.
- Ждать ненулевой I у массы, сидящей на оси.
- Подставить I вместо m в Eₖ = m v² / 2 без ω и без /2 у I ω².
Частые вопросы
- Какая формула момента инерции материальной точки?
- I = m r², где r — перпендикулярное расстояние до оси, m — масса. Единица СИ — кг·м².
- Почему не ½ m r² как у диска?
- У однородного диска относительно своей центральной оси масса распределена по разным радиусам, коэффициент 1/2. Точка вся сидит на одном r, коэффициент 1.
- Тонкий обруч тоже m r². Это та же модель?
- Число совпадает, если вся масса обруча на расстоянии r от оси, перпендикулярной плоскости. Точка — один груз. Обруч — кольцо. Стержень и диск — другие коэффициенты, их здесь нет.
- Что если r = 0?
- Точка лежит на оси, I = 0. Вращать её вокруг этой оси — не менять положение, вклада в инерцию вращения нет. Массу из I при r = 0 не восстановить.
- Как связаны I и вращательная энергия?
- Eₖ = I ω² / 2 на странице кинетической энергии вращения. Сюда подставляют уже найденное I точки.
- Можно ли найти массу или расстояние?
- Да. Обратный ход: m = I / r², r = √(I / m). Нулевое r при ненулевом I массы не даёт.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).