«Количество вращения» L = Iω
Момент импульса (угловой момент) относительно оси — произведение момента инерции на угловую скорость: L = I ω. Чем «размазаннее» масса и чем быстрее крутится тело, тем больше L. Для I = 2 кг·м² и ω = 3 рад/с получается L = 6 кг·м²/с. Нулевая ω даёт нулевой L при любом I: не крутится — нечего сохранять как вращение. Хаб: импульс; энергия вращения рядом в механической энергии.
Запись L = I ω удобна, когда тело вращается вокруг главной оси и I в этой модели постоянен. Для точки ещё бывает L = r p sin φ или r m v при движении перпендикулярно радиусу; страница считает осевую форму Iω, не векторное произведение в общем виде.
Угловую скорость ω нужно брать в рад/с. Обороты в минуту без перевода испортят L в 2π/60 раз. I берут относительно той же оси, что и ω. Чужой I «от другой оси» к этой ω не приклеивают.
L = I ω
L = I ω
Три величины. Обратный ход: I = L / ω, ω = L / I. I в этой форме положительно и не ноль, когда ищете ω. ω = 0 законно для L = 0. Искать I при ω = 0 и L ≠ 0 нельзя. Искать ω при I, которое вы не задали, нельзя: нужны два входа.
Единицы: кг·м², рад/с, кг·м²/с. Радиан безразмерен, поэтому кг·м²/с совпадает с джоуль-секундой, но «джоули» сюда не пишут: это не энергия. Энергия вращения I ω² / 2 — джоули, другой калькулятор.
Не линейный импульс p = mv
p = m v — килограмм-метры в секунду. L — килограмм-метры в квадрате на секунду. Даже если числа «6 и 6», это разные 6. Точка 2 кг со скоростью 3 м/с имеет p = 6 кг·м/с. Та же точка на r = 1 м с v = 3 м/с имеет ω = 3 рад/с, I = 2 кг·м², L = 6 кг·м²/с. Совпадение из-за r = 1 м. При r = 2 м будет I = 8, ω = 1,5, L = 12, тогда как p всё ещё 6.
Сохранение p и сохранение L — разные законы. Взрыв на льду без внешних сил сохраняет суммарный линейный импульс. Волчок без внешнего момента сохраняет L. Можно сохранить одно и не сохранить другое. Импульс силы J = F Δt меняет p, не подставляется вместо M Δt для L, хотя аналогия «момент импульса силы» в школе звучит похоже.
Не пишите L = m v. Не пишите L = m ω. Нужен именно I. Для точки I = m r², тогда L = m r² ω = m v r при v = ω r. Это уже не поля этой формы: I сюда приносят готовым, хоть из I = m r² точки, хоть из таблицы тела.
Когда L сохраняется
Теорема: внешний момент относительно оси равен скорости изменения L. Если внешний M = 0, L постоянно. Внутренние силы с моментами «парами» часто сокращаются. Прижатые руки фигуриста, сдвинутые грузы на штанге — внутренние перестройки I, не внешний момент относительно вертикали (трение конька и воздух в идеале забыли).
Тогда I₁ ω₁ = I₂ ω₂. Уменьшили I вдвое — ω удвоилась, L тот же. Кинетическая энергия при этом растёт: Eₖ = L² / (2 I), меньше I — больше энергия при том же L. Откуда энергия? Работа мышц, которые тянут массы к оси. Сохранение L не есть сохранение энергии.
Трение оси, сопротивление воздуха, опора с моментом — внешние M, L течёт. Калькулятор этого не вычитает: он считает L = Iω в выбранный момент, не «L через минуту».
Фигурист: меньше I — больше ω
Пусть в широкой позе I = 4 кг·м², ω = 2 рад/с, L = 8 кг·м²/с. Прижала руки, I стал 1 кг·м². Если L сохранился, ω = 8 рад/с — вчетверо быстрее. Энергия была 4 · 4 / 2 = 8 Дж, стала 1 · 64 / 2 = 32 Дж. Четыре раза по энергии, четыре по ω, I вчетверо меньше. Учебные килограммы условны: у человека I порядка единиц кг·м², не лабораторный диск на 18.
Маховик на станции: большой I, умеренная ω, большой запас L и энергии. Раскрутили — хранят. Страница не моделирует двигатель и разряд: только произведение Iω. Волчок держит ось как раз потому, что L — вектор; модуль считает калькулятор, прецессию — нет.
Платформа с человеком в задачнике: человек подтягивает грузы, I системы падает, платформа крутится быстрее. Не путайте с «человек идёт по платформе» и линейным импульсом шагов. Смотрите, про какую ось и какой момент внешних сил речь в условии.
L это не момент силы M
В русской школе «момент» без уточнения часто значит момент силы: M = F d, рычаг, гаечный ключ. Момент импульса — другая величина, хотя связан: M = dL/dt. Постоянный M за время Δt даёт ΔL = M Δt, аналог J = Δp. Эта страница не спрашивает F, плечо и время. Только I и ω.
Момент силы нужен, когда раскручивают из покоя или тормозят. Пока M = 0 и уже есть ω, L просто «есть» и сохраняется. Назвать L «моментом» на контрольной без слова «импульса» учитель может зачесть как путаницу с M. Держите буквы: L против M, кг·м²/с против Н·м.
Ньютон-метр совпадает с джоулем по размерности, кг·м²/с — нет. Не переводите L в джоули. Не делите энергию на время и не называйте это L.
Как пользоваться
Выберите L, I или ω. Введите два известных. I точки предварительно посчитайте как m r², если в задаче точечный груз. Для диска возьмите табличное I, не эту страницу момента инерции точки вслепую, если тело протяжённое.
ω = 0 и L = 0 — покой вращения, I при этом из формулы не следует: любое I даёт ноль. Не ищите I «по покоящемуся маховику». Для сохранения: посчитайте L до, приравняйте после, найдите новую ω. Два вызова калькулятора плюс равенство в тетради.
Не подставляйте линейную скорость в поле ω. Не подставляйте массу вместо I. Не подставляйте момент силы в ньютон-метрах в поле L: 6 Н·м это не 6 кг·м²/с.
Связка с энергией: при известных L и I энергия L²/(2I). При известных L и ω энергия L ω / 2. Проверьте одно число двумя путями, если сомневаетесь. Калькулятор энергии вращения всё равно удобнее для Eₖ, сюда — для L.
Пример: I = 2 кг·м² и ω = 3 рад/с
L = 6 кг·м²/с. Обратный ход: L = 6, ω = 3 → I = 2. L = 6, I = 2 → ω = 3. При ω = 0 и I = 2 будет L = 0. Попытка I = L/ω при ω = 0 и L = 6 должна получить отказ.
Фигурист выше: I с 4 на 1, L = 8, ω с 2 на 8. Если трение «съело» 10% момента импульса, новый L = 7,2, новая ω = 7,2 рад/с, не 8. Идеальный калькулятор этого процента не знает, пока вы сами не подставите уменьшенный L.
Точка 5 кг на 0,4 м: I = 0,8 кг·м². При ω = 10 рад/с L = 8 кг·м²/с. Линейно v = 4 м/с, p = 20 кг·м/с. Не равны и не обязаны. Eₖ = 0,8 · 100 / 2 = 40 Дж = 5 · 16 / 2. Сохранение L при подтягивании к r = 0,2 м: I станет 0,2, ω станет 40 рад/с, если внешний момент ноль. v станет 8 м/с: и линейная скорость выросла, мышцы поработали.
Маховик I = 12 кг·м², 300 об/мин: сначала ω = 10π рад/с ≈ 31,4 рад/с, L ≈ 377 кг·м²/с. Ввели 300 в поле рад/с — L = 3600, вдесятеро с лишним враньё. Всегда радиан в секунду или смена единицы.
Типичные ошибки
- Написать L = m v вместо I ω.
- Спутать L с моментом силы M и подставить ньютон-метры.
- Забыть, что при сохранении L энергия может расти.
- Оставить ω в об/мин без перевода.
- Взять I от другой оси.
- Решить, что сохранение L всегда сохраняет ω.
- Искать I при нулевой ω и ненулевом L.
- Смешать единицы p и L, потому что «оба импульсы».
Частые вопросы
- Какая формула момента импульса?
- Относительно оси L = I ω. I — момент инерции относительно той же оси, ω — угловая скорость в рад/с. Единица — кг·м²/с.
- Чем это отличается от p = mv?
- Линейный импульс p = m v про поступательное движение. L про вращение вокруг оси. Числа могут совпасть, смысл и единицы разные.
- Когда момент импульса сохраняется?
- Когда суммарный внешний момент сил относительно оси равен нулю. Тогда I ω постоянно: уменьшили I — выросла ω.
- Это момент силы?
- Нет. Момент силы M меняет L: M = dL/dt, при постоянном I это M = Iα. Страница момента силы считает M, не L.
- Почему у фигуриста растёт скорость вращения?
- Прижал руки — уменьшился I. Внешний момент около вертикали мал, L почти постоянен, значит ω = L / I растёт.
- Можно ли найти I или ω?
- Да. Обратный ход: I = L / ω, ω = L / I. При ω = 0 и ненулевом L момента инерции не существует. При L = 0 и ненулевом I угловая скорость ноль.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).