Сколько радиан в секунду
Угловая скорость говорит, как быстро растёт угол поворота вокруг оси. Формула школьного калькулятора — отношение угла к времени: ω = θ / t. Если диск повернулся на 2 радиана за секунду, ω = 2 рад/с. Если за ту же секунду сделан полный оборот, угол уже 2π, и ω ≈ 6,28 рад/с. Раздел рядом с вращением и импульсом; кинематика пути — соседний хаб кинематики.
Это средняя угловая скорость на интервале t. Мгновенную dθ/dt страница не дифференцирует: нет графика θ(t) и нет поля «ускорение вращения». Если ω менялась, ответ — именно среднее θ/t, как средняя линейная скорость есть s/t, а не снимок спидометра.
Знак в одномерной модели: положительный угол — выбранное направление вращения. Калькулятор считает величину из введённых чисел. Нулевой угол за ненулевое время даёт ω = 0: тело не поворачивалось, даже если «крутилось туда-обратно» и модули углов в тетради кто-то сложил без знаков.
ω = θ / t
ω = θ / t
Три величины, любые две задают третью. Обратный ход: θ = ω t, t = θ / ω. Время строго положительно. Угол и ω могут быть нулевыми: покой вращения законен. Если ищете время при ω = 0 и ненулевом θ, решения нет — нулевой скоростью ненулевой угол не набрать.
Единицы по умолчанию: радиан, секунда, радиан в секунду. Градусы и обороты допустимы в списках: перевод в радианы делается до деления. Не пишите «90» в поле, оставленном в радианах, если имели в виду прямой угол: 90 рад — это много оборотов, не четверть круга.
Угол внутри всегда в радианах
Радиан — отношение длины дуги к радиусу. Полная окружность даёт дугу 2π r и угол 2π. Формулы механики (v = ω r, кинетическая энергия вращения, момент импульса) ждут именно радианы. Градусная мера удобна на чертеже, но в ω = θ/t «градус в секунду» — другая единица, не рад/с.
Четверть оборота — π/2 ≈ 1,571 рад, не 90. Половина — π. Три оборота — 6π ≈ 18,85 рад. Если за 3 с колесо сделало 3 оборота, θ = 6π, ω = 2π рад/с: то же, что один оборот за секунду. Счёт «3 оборота / 3 с = 1» верен в оборотах в секунду и неверен, если вы ждёте рад/с без множителя 2π.
Это не путь, делённый на время
Линейная скорость v = s/t меряет путь точки. У точки на ободе путь по дуге s = θ r при θ в радианах, поэтому v = ω r. Калькулятор угловой скорости радиус не спрашивает: он не заменяет спидометр и не считает «метры в секунду по ободу».
Путать поля опасно. Подставить путь 10 м вместо угла 10 рад получите ω = 10/t с размерностью «метры на секунду в квадрате радиан» — бессмыслица, которую программа как число всё же поделит. Сначала переведите дугу в угол: θ = s / r. Для обода 0,5 м и дуги 1,5 м угол 3 рад; за 2 с это ω = 1,5 рад/с.
Центростремительное ускорение точки обода a_c = ω² r = v² / r живёт на странице нормального ускорения. Оно не равно ω и не равно α. Разгон вращения — угловое ускорение α = Δω/t.
Полный оборот даёт 2π
Один оборот — не «ω = 1». Один оборот — θ = 2π рад. За время T одного оборота при равномерном вращении ω = 2π / T. Это же T считает страница периода по окружности; сюда вы уже приносите угол и время, не «сколько кругов в минуту» отдельной формулой.
Обороты в минуту — единица в списке, не соседний калькулятор. 60 об/мин значит один оборот в секунду и ω = 2π рад/с. 30 об/мин — половина оборота в секунду, ω = π рад/с. 120 об/мин — два оборота в секунду, ω = 4π рад/с. Перепутав об/мин с рад/с, ошибаетесь примерно в 10 раз (2π ≈ 6,28) плюс множитель 60, если забыли минуты.
Вентилятор «800 об/мин»: 800 / 60 ≈ 13,33 оборота в секунду, ω ≈ 83,8 рад/с. Не подставляйте 800 в поле рад/с. Не подставляйте 800 в поле угла: это не радианы за выбранное t.
Период круга и период маятника
Равномерное движение по окружности: за период T угол 2π, ω = 2π / T. Частота n = 1/T в герцах связана как ω = 2π n. Эту ветку не дублируем: период и частота круга — отдельная страница. Здесь только θ, t и ω.
Математический маятник качается, а не бежит по кругу с постоянным ω. Его период T = 2π √(L/g) зависит от длины нити и g, не от «угла за секунду» в этой записи. Мгновенная угловая скорость груза на нити меняется: в крайних точках ноль, внизу максимум. Среднее θ/t за полкачания не равно 2π/T маятника в том же смысле, что у колеса.
Пружинный груз вообще движется вдоль прямой: период T = 2π √(m/k). Подставить ход пружины как θ нельзя. Слово «период» в трёх задачах означает три разные вещи: оборот, качание нити, колебание пружины.
Как пользоваться
Выберите искомое: ω, угол или время. Введите две известные величины. Для градусов или оборотов смените единицу угла до расчёта. Для об/мин смените единицу ω. Радиус, массу, момент инерции и силу не вводите — полей нет.
Если в задаче «колесо сделало 40 оборотов за 8 с», сначала θ = 40 · 2π = 80π рад, затем ω = 10π рад/с ≈ 31,4 рад/с. Либо переведите угол в обороты в поле θ и время оставьте 8 с — список единиц сделает то же. Не делите 40 на 8 и не называйте 5 «радианами в секунду»: 5 об/с = 10π рад/с.
Средняя ω не показывает, был ли разгон. Маховик, который за 10 с разогнался с нуля, имеет среднее ω = θ/t по накопленному углу, тогда как конечная ω больше среднего, если α постоянно. Конечную скорость вращения после разгона ищите через α и время, не этой строкой.
Стрелка часов: минутная делает оборот за 3600 с, ω = 2π/3600 ≈ 0,00175 рад/с. Секундная — оборот за 60 с, ω = π/30 рад/с. Это полезно проверить калькулятор мелким числом. Не путайте с угловой скоростью Земли за сутки: там T ≈ 86164 с звёздных, не «86400 гражданских» в точной задаче, но школьно часто берут 24 ч и ω = 7,27·10⁻⁵ рад/с.
Пример: 2 рад за 1 с и оборот за секунду
θ = 2 рад, t = 1 с → ω = 2 рад/с. Обратный ход: при ω = 2 рад/с и t = 1 с угол снова 2 рад. При ω = 2 рад/с и θ = 2 рад время 1 с. Нулевой угол за 5 с даёт ω = 0.
Полный оборот за 1 с: θ = 2π рад ≈ 6,2832 рад, t = 1 с, ω = 2π рад/с. Это же 60 об/мин. Половина оборота за 2 с: θ = π, t = 2, ω = π/2 ≈ 1,57 рад/с. Четверть оборота за 0,5 с: θ = π/2, t = 0,5, ω = π рад/с — быстрее, чем «полкруга за две секунды», хотя угол меньше: время короткое.
Точка на ободе радиуса 0,4 м при ω = 5 рад/с имеет линейную скорость 2 м/с. Эту двойку страница не печатает. Путь за 3 с по дуге был бы 6 м. Средняя линейная скорость 2 м/с совпадает с v = ω r только при постоянном ω. Сверьте путь через s = v t, угол — здесь.
Диск с 12 до 18 рад/с за 3 с накопил угол не 18·3. При постоянном α среднее ω = (12+18)/2 = 15 рад/с, θ = 45 рад. Калькулятор средней ω как θ/t как раз 45/3 = 15. Если подставить конечные 18 и t = 3 без угла, получите 6 рад/с — это уже α, не ω. Не смешивайте конечную скорость вращения со средней.
Задача «за 10 с велосипедное колесо повернулось на 25 оборотов»: θ = 50π рад, ω = 5π рад/с ≈ 15,7 рад/с ≈ 150 об/мин. Если датчик показал 150 об/мин, а вы ввели 150 в рад/с, ошибка в 2π раз: «настоящие» об/мин были бы около 1432. Всегда смотрите единицу поля.
Типичные ошибки
- Подставить градусы в формулу, оставленную в радианах: 180 вместо π.
- Считать один оборот равным ω = 1 или θ = 1 без 2π.
- Смешать ω с линейной v = s/t или с v = ω r, забыв радиус.
- Назвать об/мин отдельной физической величиной и ждать другую страницу.
- Подставить период маятника вместо T оборота в ω = 2π/T.
- Взять конечную ω после разгона вместо средней θ/t.
- Делить число оборотов на время и подписывать ответ «рад/с».
- Искать здесь α или a_c: это другие калькуляторы.
Частые вопросы
- Какая формула угловой скорости?
- ω = θ / t. Угол поворота в радианах, время в секундах, ответ в рад/с. Это средняя величина на выбранном интервале.
- Почему полный оборот за секунду даёт не 1, а 2π?
- Один оборот — угол 2π радиан, не «единица оборота» в формуле. За t = 1 с получается ω = 2π рад/с ≈ 6,28 рад/с.
- Это линейная скорость v = s/t?
- Нет. Путь по дуге и время считает v = s/t. Связь на окружности: v = ω r, если r известен, но поля радиуса на этой странице нет.
- Как перевести в обороты в минуту?
- Выберите единицу об/мин в списке у ω. Отдельной страницы перевода нет: тот же расчёт, другие единицы на входе или выходе.
- Можно ли найти угол или время?
- Да. Обратный ход: θ = ω t и t = θ / ω. Нулевое время для ω страница не принимает. Нулевая ω при ненулевом угле времени не даёт.
- Это период математического маятника?
- Нет. Качание нити — T = 2π √(L/g). Период равномерного круга T = 2π/ω — период по окружности.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).