Как меняется ω со временем
Угловое ускорение показывает, насколько быстро меняется угловая скорость. Если маховик за 4 с разогнался с нуля до 20 рад/с, среднее α = 5 рад/с². Знак минус означает торможение выбранного направления: с 20 рад/с до 0 за 4 с даёт α = −5 рад/с². Раздел: динамика вращения рядом с кинематикой скорости и ускорения.
Калькулятор считает постоянное α на интервале, в школьной записи совпадающее со средним (ω − ω₀)/t. Мгновенную производную dω/dt по осциллограмме он не берёт. Если разгон был рывками, ответ — среднее, не пик.
Угловая скорость сама по себе — ω = θ/t. Её изменение во времени — эта страница. Не подставляйте угол θ вместо ω: радианы и радианы в секунду путают так же часто, как путь и скорость на прямой.
α = (ω − ω₀) / t
α = (ω − ω₀) / t
Четыре величины: α, конечная ω, начальная ω₀, время. Обратный ход: ω = ω₀ + α t, ω₀ = ω − α t, t = (ω − ω₀)/α. Время положительно. Нулевое α законно и означает ω = ω₀. Нулевые скорости законны: старт с покоя или останов до покоя.
Единицы: рад/с², рад/с, секунды. Если ω задали в об/мин, переведите или смените единицу в списке. Смесь «ω = 60 об/мин, ω₀ = 0, t = 2 с» без перевода даст α = 30 «каких-то единиц», не 2π рад/с². 60 об/мин = 2π рад/с, за 2 с с покоя α = π рад/с² ≈ 3,14 рад/с².
Нулевое α: равномерное вращение
α = 0 не значит, что диск стоит. Это значит, что ω не меняется. Турбина на установившемся режиме, Земля за короткий отрезок урока, колесо после разгона на ровном шоссе — ω почти постоянна, α ≈ 0, а обороты могут быть большими. Покой — когда ещё и ω = 0.
Проверка: ω = 20 рад/с, ω₀ = 20 рад/с, t = 4 с → α = 0. Формула жива, ответ ноль, физика «крутится как крутилось». Если в задаче «равномерно вращается с 10 рад/с», угловое ускорение не ищут, если нет торможения. Искать α «чтобы было число» незачем.
При α = 0 угол растёт линейно: θ = ω t. Это снова страница угловой скорости, не эта. Здесь поля угла нет. Накопить θ при разгоне с постоянным α умеет кинематика θ = ω₀ t + α t² / 2 — калькулятор её не раскрывает, только Δω/t.
Не линейное a и не нормальное a_c
Линейное a = (v − v₀)/t меняет модуль скорости вдоль траектории или по прямой. Размерность м/с². У точки на расстоянии r от оси касательное ускорение a_τ = α r: те же «метры», но нужен радиус. Страница α радиус не спрашивает и a_τ не печатает.
Центростремительное a_c = v²/r нужно, чтобы скорость поворачивалась, даже когда |v| и ω постоянны. При равномерном вращении α = 0, а a_c ≠ 0. Это самый частый школьный подвох: «есть ускорение к центру, значит есть α». Нет: a_c не есть α. Разные направления, разные формулы, разные единицы.
Пример чисел. Колесо радиуса 0,5 м, ω = 4 рад/с постоянно. Тогда v = 2 м/с, a_c = 8 м/с², α = 0. Если за 2 с ω выросла с 4 до 6 рад/с, α = 1 рад/с², касательное a_τ = 0,5 м/с², а a_c в конце уже 18 м/с². Три ускорения сразу, одно поле на этой странице — только α.
F = ma связывает равнодействующую с линейным ускорением центра масс. Вращать тело вокруг оси может момент сил, не «голая F» без плеча. Не подставляйте α в F = ma вместо a.
Момент силы считает другая страница
Второй закон для вращения: M = I α, где M — суммарный момент относительно оси, I — момент инерции. Это калькулятор момента. Сюда I и M не входят. Вы уже измерили или задали, как изменилась ω, и хотите α. Откуда взялся момент — вопрос динамики, не этой строки.
Нулевой момент при свободном вращении (трение пренебрегли) даёт α = 0 и постоянную ω. Ненулевой постоянный M даёт постоянное α, и тогда кинематическая формула этой страницы справедлива. Переменный момент — переменное α, среднее (ω − ω₀)/t всё ещё можно посчитать, но оно не равно «мгновенному α из одного M».
Как пользоваться
Выберите α, конечную ω, начальную ω₀ или время. Введите три известных. Для старта с покоя поставьте ω₀ = 0 явно. Для останова конечную ω = 0. Отрицательное α допускается, если конечная меньше начальной в выбранной оси.
Не вводите линейные метры в секунду в поля ω: сначала v → ω = v / r на бумаге, затем сюда. Не вводите угол поворота: его нет. Если известны только θ и t без двух ω, это средняя угловая скорость, не α.
Жёсткий диск, который «набирает 7200 об/мин за 4 с с покоя»: ω = 7200 · 2π / 60 = 240π рад/с ≈ 754 рад/с, α ≈ 188 рад/с². Без перевода об/мин ответ будет в 60/(2π) раз меньше по смыслу единиц. Школьный маховик «с 0 до 10 рад/с за 5 с» проще: α = 2 рад/с².
Торможение: ω₀ = 12 рад/с, ω = 3 рад/с, t = 3 с → α = −3 рад/с². Модуль 3 рад/с² — как быстро падает ω, знак — что падает. Если ось выбрали против вращения, знаки у обеих ω сменятся, α тоже. Главное — одна ось на все три числа.
Пример: с 0 до 20 рад/с за 4 с
ω₀ = 0, ω = 20 рад/с, t = 4 с → α = 5 рад/с². Обратный ход: ω₀ = 0, α = 5, t = 4 → ω = 20. То же α, t = 4, ω = 20 → ω₀ = 0. То же ω и ω₀ при α = 5 → t = 4. Четыре проверки одной четвёрки чисел.
Равномерное вращение: ω = ω₀ = 8 рад/с, любой t, например 6 с → α = 0. Попытка найти t при α = 0 и ω = 8, ω₀ = 3 невозможна: скорость не меняется, до 8 не доехать. Калькулятор так и должен отказать, не выдавать бесконечность как «ответ для тетради».
С 15 рад/с до 5 рад/с за 2 с: α = −5 рад/с². За эти 2 с при постоянном α среднее ω = 10 рад/с, угол ≈ 20 рад — уже не эта страница. Если кто-то поделил 5 на 2 и получил 2,5, он взял конечную ω вместо разности. Разность 10 рад/с, не 5.
Связь с линейным разгоном обода: r = 0,2 м, α = 5 рад/с² → a_τ = 1 м/с². За 4 с линейная скорость обода выросла бы на 4 м/с. Это согласовано с Δω = 20 рад/с и v = ω r. Проверка линейным a = Δv/t: 4/4 = 1 м/с². Сошлось, но считали на бумаге, не полями этой формы.
Не подставляйте a_c конца разгона как α. При r = 0,2 м и ω = 20 рад/с будет a_c = ω² r = 80 м/с² — огромное по сравнению с a_τ = 1 м/с². Единицы м/с² против рад/с² уже кричат, что это не α. Смешать 80 и 5 в одном ответе — типичный провал контрольной.
Типичные ошибки
- Решить, что α = 0 означает покой, а не постоянную ω.
- Подставить линейное a вместо α или смешать м/с² с рад/с².
- Принять a_c = v²/r за угловое ускорение.
- Забыть перевести об/мин в рад/с до деления на время.
- Поделить конечную ω на t, забыв вычесть ω₀.
- Искать здесь M = Iα или I — это момент силы и момент инерции.
- Подставить угол θ в поле ω.
- Ждать поле радиуса и касательное ускорение обода.
Частые вопросы
- Какая формула углового ускорения?
- При постоянном α верно α = (ω − ω₀) / t. ω — конечная угловая скорость, ω₀ — начальная, t — время разгона или торможения.
- Что означает α = 0?
- Угловая скорость не меняется. Тело может крутиться быстро и равномерно: ω = ω₀ ≠ 0. Покой — частный случай ω = ω₀ = 0.
- Это то же, что a = (v − v₀)/t?
- Нет. Линейное ускорение вдоль пути — a = Δv/t. Размерность другая: рад/с², не м/с². Связь точки обода a_τ = α r в поля не входит.
- Почему не центростремительное ускорение?
- a_c = v²/r направлено к центру и есть даже при постоянном |v|. Его считает центростремительное ускорение. α меняет именно модуль ω.
- Где момент силы M = Iα?
- На странице момента силы. Здесь α уже дано кинематикой вращения: две угловые скорости и время, без I и без M.
- Можно ли найти конечную ω?
- Да: ω = ω₀ + α t. Обратный ход также даёт ω₀ и t. При α = 0 и ω ≠ ω₀ времени не существует.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).